Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari hari

Gerak suatu objek yang dilempar ke atas merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Gerak objek tersebut dapat dirumuskan dengan rumus h = –5t2 + vt + k, dengan h adalah ketinggian objek tersebut dalam meter, t adalah waktu dalam detik, dan v adalah kecepatan awal dalam meter per sekon. Konstanta k merepresentasikan ketinggian awal dari objek dari permukaan tanah. Untuk lebih memahami mengenai gerak objek yang dilempar ke atas, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan Kuadrat

Seorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s [anggap bola dilepaskan ketika berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri]. Tentukan [a] tinggi bola setelah 3 detik, dan [b] waktu yang dibutuhkan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah.

Pembahasan Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh h = –5t2 + 20t + 6. Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan t = 3 ke dalam persamaan tersebut.

Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,

Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang diperlukan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah adalah 4,28 detik.

Contoh 2: Permasalahan Pelanggan Telepon Genggam

Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N [dalam juta orang] dapat dimodelkan oleh persamaan N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3, dengan x = 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber: Data dari 2005 Statistical Abstract of the United States, Tabel 1.372, hal. 870]. Pada tahun berapa banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta?

Pembahasan Dari soal diketahui bahwa N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3 dan kita diminta untuk menentukan tahun ketika banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai 3.750 juta. Dengan kata lain, kita diminta untuk menentukan nilai 1995 + x ketika N = 3.750.

Karena waktu tidak pernah negatif, maka kita simpulkan bahwa 13,52 tahun setelah tahun 1995, yaitu tahun 2008, banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Penerapan fungsi kuadrat ternyata mampu memecahkan persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Sekilas, salah satu materi matematika ini terlihat sulit. Padahal, jika siswa-siswa sudah mengetahui konsep dasarnya, pemecahan soal pun bisa dilakukan dengan mudah.

Dirangkum dari buku Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat tulisan Retno Damayanti, S.Pd [2012: 31], fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk f[x] = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0. Fungsi f[x] disebut juga y, sehingga dapat ditulis juga y = ax2 + bx + c.

Fungsi kuadrat memiliki pangkat dengan derajat paling tinggi dua. Grafik dari fungsi kuadrat berupa kurva yang menyerupai parabola. Oleh sebab itu, fungsi kuadrat dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola. Adapun contoh fungsi kuadrat, yaitu:

Sementara itu, contoh fungsi yang bukan fungsi kuadrat adalah:

Agar lebih memahaminya, simak konsep dasar fungsi kuadrat dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Pembahasan di bawah ini merujuk pada buku Matematika Dasar: Aljabar Umum milik Djoko Adi Susilo [2021: 56].

Konsep Dasar Fungsi Kuadrat dalam Matematika

Pada fungsi kuadrat f[x] = ax2 + bx + c, nilai a dan b disebut koefisien dan c disebut konstanta. Nilai a akan mempengaruhi bentuk grafiknya, jika:

• a > 0 [positif], maka grafik y = ax2 + bx + c akan terbuka ke atas dan memiliki titik puncak minimum.

• a < 0 [negatif], maka grafik y = ax2 + bx + c akan terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum.

Sementara itu, nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu-y, yakni pada koordinat [0, c].

Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, di antaranya:

1. Kegiatan lompat trampolin

2. Gerakan bola dalam permainan bola basket

3. Gerakan bola dalam permainan sepak bola

Kurva fungsi kuadrat sangat disukai, karena bentuknya yang simetris dan mirip dengan parabola. Arsitektur yang memiliki konsep bangunan berbentuk melengkung simetris seperti tiang jembatan, biasa berpatokan pada rumus fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat juga bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan proyektil, karena kurvanya menyerupai lintasan benda jatuh.

Seseorang bisa menghitung puncak tertinggi benda yang dilempar atau kecepatan bola pada lintasan parabola dengan persamaan fungsi kuadrat ini.

Simak contoh soal dan pembahasan tentang fungsi kuadrat berikut ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

Tinggi dari balon udara dalam waktu x dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f[x] = –16x2 + 112x − 91. Tentukan tinggi maksimum balon udara [dalam meter]!

Lintasan balon udara saat naik dan turun dianggap membentuk grafik fungsi kuadrat [berbentuk parabola].

Fungsi f[x] = –16x2 + 112x – 91 merupakan tinggi balon udara, oleh sebab itu:

a = -16, b = 112, c = -91

a = -16 < 0 [negatif] maka grafik terbuka ke bawah dan grafik memiliki titik puncak maksimum

Tinggi maksimum balon udara dicapai pada titik puncak grafik f[x] = –16x2 + 112x – 91. Tinggi balon udara ditentukan oleh nilai yp, sehingga:

Tinggi maksimum = yp = -D/4a = -[b2 - 4ac]/4a = -[1122 - 4.[-16].[-91]]/[4.[-16]] = -6720/[-64] = 105 meter

Jadi, tinggi maksimum balon udara adalah 105 meter.

Video yang berhubungan

Dalam perhitungan matematika maupun kehidupan sehari-hari, tentunya kalian sering menjumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat tersebut memiliki karakteristik atau ciri-ciri tertentu. Biasanya, model matematika yang berbentuk persamaan kuadrat itu berdasarkan soal cerita.

Untuk menyelesaikan soal cerita yang berbentuk persamaan kuadrat, kita harus cermat dalam menganalisa maksud yang terkandung dalam cerita tersebut, karena sebuah kalimat terkadang memiliki beberapa arti yang berlawanan. Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan persoalan matematika yang berbentuk persamaan kuadrat.

#1 Misalkan bilangan-bilangan dalam soal cerita dengan variabel tertentu, misal x atau y.

#2 Ubah kalimat dalam soal cerita menjadi persamaan matematika

#3 Tentukan akar dari persamaan yang terbentuk dari langkah 2.

Agar lebih jelas dalam memahami tiga langkah mudah di atas, silahkan kalian simak secara seksama beberapa contoh soal cerita yang berbentuk persamaan kuadrat di bawah ini.

Contoh Soal #1

Selisih tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan tiga belas kali bilangan itu sama dengan negatif 4. Maka tentukanlah bilangan tersebut.

Jawab

Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu menjelaskan bahwa karakteristik masalah  dalam soal mempunyai model matematika berbentuk persamaan kuadrat. Setelah kita mampu menjelaskan bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk persamaan kuadrat, maka gunakan tiga langkah di atas.

#1 Misalkan bilangan itu adalah x.

#2 Berdasarkan ketentuan pada soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

3x2 – 13x = -4

#3 Kemudian kita tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut.

3x2 – 13x = -4

⇔ 3x2 – 13x + 4 = 0

⇔ [3x – 1][x – 4] = 0

⇔ x = 1/3 atau x = 4

Dengan demikian, bilangan yang dimaksud adalah 1/3 atau 4.

Contoh Soal #2

Jumlah dua buah bilangan sama dengan 30. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 200, tentukanlah bilangan tersebut.

Jawab

Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka x + y = 30 atau y = 30 – x. berdasarkan ketentuan dalam soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

x . y = 200

⇔ x[30 – x] = 200

⇔ 30x – x2 = 200

⇔ x2 – 30x + 200 = 0

⇔ [x – 10][x – 20] = 0

⇔ x = 10 atau x = 20

Untuk x = 10 diperoleh y = 30 – 10 = 20

Untuk x = 20 diperoleh y = 20 – 10 = 10

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 10 dan 20

Contoh Soal #3

Selembar karton berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 3 × 3 cm2 di masing-masing pojoknya. Apabila panjang alas kotak 2 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 cm3. Tentukanlah panjang dan lebar alas kotak tersebut.

Jawab

Langkah pertama, kita buat sketsa dari kertas karton tersebut seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Misalkan panjang kotak adalah x dan lebarnya adalah y. Dengan memperhatikan gambar di atas, maka kita dapatkan tinggi kotak adalah 3 cm. Oleh karena panjang kotak 2 cm lebih dari lebarnya, maka

x = y + 2 atau y = x – 2

karena volume kotak diketahui 105 cm3, maka kita peroleh

panjang × lebar × tinggi = 105

⇔ x . y . 3 = 105

⇔ 3x . y = 105

⇔ 3x[x – 2] = 105

⇔ 3x2 – 6x = 105

⇔ x2 – 2x = 35

⇔ x2 – 2x – 35 = 0

⇔ [x + 5][x – 7] = 0

⇔ x = -5 atau x = 7

Karena panjang alas tidak mungkin negatif, maka kita ambil x = 7. Kemudian kita subtitusikan x = 7 ke y = x – 2, sehingga diperoleh y = 7 – 2 = 5.

Dengan demikian, panjang alas kotak adalah 7 cm dan lebarnya adalah 5 cm.

Contoh Soal #4

Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3.

Tentukan bilangan tersebut.

Jawab

Misalkan bilangan itu adalah x. Berdasarkan ketentuan soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

x2 – 4x = -3

⇔ x2 – 4x + 3 = 0

⇔ [x – 3][x – 1] = 0

⇔ x = 3 atau x = 1

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 3 atau 1.

Contoh Soal #5

Jika selisih dua kali kuadrat suatu bilangan dengan tiga kali bilangan itu sama dengan 9, bilangan tersebut adalah

Jawab

Misalkan bilangan itu adalah x, berdasarkan soal kita dapatkan hubungan sebagai berikut.

2x2 – 3x = 9

⇔ 2x2 – 3x – 9 = 0

⇔ [2x + 3][x – 3] = 0

⇔ x = -3/2 atau x = 3

Dengan demikian bilangan yang dimaksud adalah -3/2 atau 3.

Contoh Soal #6

Kuadrat suatu bilangan ditambah lima kali bilangan itu dikurangi enam sama dengan nol. Tentukan bilangan itu.

Jawab

Misalkan bilangan itu p. Berdasarkan ketentuan dalam soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

p2 + 5p – 6 = 0

⇔ [p + 6][p – 1] = 0

⇔ p = -6 atau p = 1

Jadi bilangan yang dimaksud adalah -6 atau 1.

Contoh Soal #7

Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75 tentukan bilangan-bilangan tersebut.

Jawab

Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, berarti x + y = 20 atau y = 20 – x. Berdasarkan ketentuan soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

x . y = 75

⇔ x[20 – x] = 75

⇔ 20x – x2 = 75

⇔ x2 – 20x + 75 = 0

⇔ [x – 5][x – 15] = 0

⇔ x = 5 atau x = 15

Untuk x = 5 diperoleh y = 20 – 5 = 15

Untuk x = 15 diperoleh y = 20 – 15 = 5

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 15

Contoh Soal #8

Jumlah dua bilangan sama dengan 6 dan jumlah kuadrat dari masing-masing bilangan itu sama engan 116. Kedua bilangan itu adalah

Jawab

Misalkan kedua bilangan itu x dan y. Berarti x + y = 6 atau y = 6 – x. Berdasarkan ketentuan dalam soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

x2 + y2 = 116

⇔ x2 + [6 – x]2 = 116

⇔ x2 + 36 – 12x + x2 = 116

⇔ 2x2 – 12x + 36 = 116

⇔ 2x2 – 12x + 36 – 116 = 0

⇔ 2x2 – 12x – 80 = 0

⇔ x2 – 6x – 40 = 0

⇔ [x – 10][x + 4] = 0

⇔ x = 10 atau x = -4

Untuk x = 10 diperoleh y = 6 – 10 = -4

Untuk x = -4 diperoleh y = 6 – [-4] = 10

Jadi bilangan yang dimaksud adalah -4 dan 10

Contoh Soal #9

Jumlah dua bilangan sama dengan 40. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 300, maka tentukan kedua bilangan tersebut.

Jawab

Misalkan kedua bilangan itu adalah x dan y. Berarti x + y = 40 atau y = 40 – x. Berdasarkan ketentuan dalam soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

x . y = 300

⇔ x[40 – x] = 300

⇔ 40 x – x2 = 300

⇔ x2 – 40x + 300 = 0

⇔ [x – 30][x – 10] = 0

⇔ x = 30 atau x = 10

Untuk x = 30 diperoleh y = 40 – 30 = 10

Untuk x = 10 diperoleh y = 40 – 10 = 30

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 10 dan 30

Contoh Soal #10

Selembar karton berbentuk empat persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 × 2 cm2 pada masing-masing pojok persegi panjang tersebut. Panjang bidang alas kotak adalah 4 cm lebih besar dari lebarnya dan volume kotak itu 90 cm3. Maka tentukan panjang dan lebar alas kotak tersebut.

Jawab

Misalkan panjang alas adalah x cm dan lebar alas y cm. Maka x = y + 4 atau y = x – 4. Karena volume kotak diketahui 90 cm3, maka kita peroleh hubungan sebagai berikut.

Panjang × lebar × tinggi = 90

⇔ x . y . 2 = 90

⇔ x . y = 45

⇔ x[x – 4] = 45

⇔ x2 – 4x – 45 = 0

⇔ [x – 9][x + 5] = 0

⇔ x = 9 atau x = -5

Karena panjang alas tidak mungkin negatif, maka kita ambil x = 9. Kemudian kita subtitusikan x = 9 ke y = x – 4, sehingga diperoleh y = 9 – 4 = 5.

Dengan demikian, panjang alas kotak adalah 9 cm dan lebarnya adalah 5 cm.

Demikianlah artikel tentang kumpulan soal cerita yang berbentuk persamaan kuadrat beserta pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Video yang berhubungan