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Vi em uma questão a afirmação de que "o quadrado do período orbital de cada planeta é diretamente proporcional ao cubo da distância média do planeta ao sol".Ela foi dada como verdadeira.Entretanto, como se pode afirmar isso, sendo que a terceira lei diz que "o cubo do RAIO MÉDIO da órbita de um planeta é proporcional ao período de revolução ao quadrado".Raio médio e distancia média são conceitos diferentes, não?
victormanfro99Jedi
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Se a trajetória fosse circular a distância d do planeta ao Sol seria constante e igual ao raio do círculo: T² = k.d³ ---> T² = k.R³ Como a trajetória é elíptica a distância d varia; com isto a distância média do planeta ao Sol é igual ao raio médio do planeta:
T² =k.(dm)³ ---> T² = k.(Rm)³ ou (Rm)³ = k'.T² (k' = 1/k)
ElcioschinGrande Mestre
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Não podes responder a tópicosJohannes Kepler, físico alemão, discípulo do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, foi o responsável por desenvolver as leis do movimento planetário, leis essas que convenceram a comunidade científica sobre a realidade do modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico, que afirmava que a Terra girava em torno do Sol. As leis do movimento planetário são conhecidas como as Leis de Kepler, e trazem as seguintes definições:
1ª Lei de Kepler
Os planetas se movem em órbitas elípticas e o Sol está localizado em um dos focos.
2ª Lei de Kepler
O segmento de reta traçado do Sol até qualquer planeta descreve áreas iguais em tempos iguais.
Isso quer dizer que: • A velocidade dos planetas em torno do Sol é variada; • A velocidade dos planetas é maior quando estão no periélio (mais perto do Sol) do que quando estão no afélio (longe do Sol); • O movimento de translação é variado, podendo ser acelerado ou retardado.
3ª Lei de Kepler
O quadrado do período de revolução de cada planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo da distância média desse planeta ao Sol.A terceira lei de Kepler pode matematicamente ser descrita pela equação:
T² = k.r³
Onde: T = período de revolução K = constante de proporcionalidade R = distância da Terra ao Sol (semieixo) • Quanto maior o semieixo, maior o período, ou seja, maior o ano do planeta. Além de confirmarem as teorias de Copérnico, as Leis de Kepler mostraram a representação precisa da órbita dos planetas, ou seja, elipses quase circulares.
Também são válidas para qualquer corpo que gravite em torno de outro com massa muito maior, como os satélites artificiais que se movem em torno da Terra.
Por Talita A. Anjos Graduada em Física
Equipe Brasil Escola
A terceira lei de Kepler diz que “o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita”. Isso significa que o tempo necessário para um planeta dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado é diretamente proporcional à medida do raio médio da órbita desse mesmo planeta elevada ao cubo. Devido a isso, a terceira lei de Kepler também recebeu o nome de “lei dos períodos”.
Leia também: Leis de Kepler — o conjunto de postulados sobre o movimento dos planetas ao redor do Sol
Resumo sobre a terceira lei de Kepler
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A terceira lei de Kepler diz que o quadrado dos períodos de órbita de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do comprimento do semieixo maior da órbita.
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A terceira lei de Kepler foi publicada em 1619 pelo matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler.
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A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita é uma constante.
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Quanto maior o raio da órbita, maior é o período.
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A terceira lei de Kepler se aplica a corpos que orbitam um outro corpo mais massivo.
O que diz a terceira Lei de Kepler?
Após dedicar vários anos de sua vida à observação dos corpos celestes, Johannes Kepler (1571–1630) elaborou três leis que descreviam o comportamento desses corpos. Em 1609, publicou a primeira e a segunda e após dez anos, em 1619, publicou a terceira, enunciando que o quadrado do período da órbita de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita.
Em outras palavras, o tempo gasto para qualquer planeta dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado dividido pelo raio médio da sua órbita elevado ao cubo terá em média o mesmo resultado.
O período é o tempo gasto para a conclusão de um ciclo, ou seja, uma volta completa em torno do Sol. A órbita, por sua vez, é o movimento circular que um corpo realiza em torno de outro que possui valores maiores de massa e, consequentemente, gravidade.
Como foi enunciado na primeira lei de Kepler, as órbitas dos planetas são elípticas, e não circulares. Logo, haverá um eixo maior e outro menor. O enunciado refere-se ao semieixo (metade do eixo) maior, como é demonstrado na figura a seguir.
Qual é a fórmula da terceira lei de Kepler?
Colocando o enunciado da terceira lei de Kepler em termos de equação para corpos que orbitam a mesma estrela ou corpo maior, temos que:
\(\frac{T^2}{r^3}=k\)
Acima, k representa uma constante com valor médio igual a 2,98 \(·\) 10-34 anos²/m³ para os planetas ou corpos que orbitam o Sol do nosso Sistema Solar, considerando que o período das órbitas estejam medidas em anos e seu raio médio, em metros (m).
A tabela a seguir representa o valor de k para os oito planetas do nosso Sistema Solar e de Plutão — lembrando que Plutão é considerado um planeta anão desde 2006.
Planeta | Raio médio da órbita r (x1010 m) | Período T (anos) | Constante k (x10-34 anos²/m³) |
Mercúrio | 5,79 | 0,241 | 2,99 |
Vênus | 10,8 | 0,615 | 3,00 |
Terra | 15,0 | 1,00 | 2,96 |
Marte | 22,8 | 1,88 | 2,98 |
Júpiter | 77,8 | 11,9 | 3,01 |
Saturno | 143 | 29,5 | 2,98 |
Urano | 287 | 84,0 | 2,98 |
Netuno | 450 | 165 | 2,99 |
Plutão | 590 | 248 | 2,99 |
Ao comparar os valores dos raios médios de cada órbita com os seus respectivos períodos, é possível perceber que quanto maior o raio da órbita, maior é o período. Em termos simples, quanto maior a distância, maior o tempo necessário para cobri-la.
Em corpos que orbitam um astro diferente do Sol, a fórmula anterior sofre uma pequena variação:
\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{5,92·{10}^{11}}M\)
Nessa fórmula, o valor de M é a massa do corpo que está sendo orbitado, e não o que orbita. Dessa forma, para o nosso Sistema Solar, o valor de M seria a massa do Sol.
Leia também: Lei de Hubble — postulado que se volta para a velocidade de afastamento de uma galáxia em relação à Via Láctea
Como se aplica a terceira lei de Kepler?
A aplicação da terceira lei de Kepler abrange todos os corpos (m) que orbitam um segundo corpo com massa muito maior (M). Em caso de planetas orbitando o Sol, os planetas seriam os que têm massa m e o Sol, massa M. Se a aplicação ocorresse em satélites orbitando planetas, os satélites seriam os corpos de massa m e os planetas, os de massa M. Uma terceira possível aplicação seria em cometas orbitando o Sol, como é o caso do cometa Halley, que tem um período de órbita com o Sol de 76 anos.
Veja alguns exemplos de cálculo:
“O astrônomo Giuseppe Piazzi não estava procurando um planeta em 1º de janeiro de 1801, mas avistou um ponto de luz desconhecido que se movia lentamente entre as estrelas. Ele o nomeou em homenagem a Ceres, a deusa romana da agricultura, e se você comeu cereal esta manhã, já teve uma conexão etimológica com a deusa.”
Fonte: //www.jpl.nasa.gov/blog/2014/12/ceres-curiosities-the-mysterious-world-comes-into-view
O planeta anão Ceres, que recebeu essa classificação em 2006, possui um período de órbita igual a 4,6 anos e um semieixo maior que abrange aproximadamente 2,76 UA. Verifique se o planeta anão Ceres orbita o Sol do nosso Sistema Solar. Dados:
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UA = 1,48 \(·\) 108 km do Sol
-
kmédio = 2,98 \(·\) 10-34 anos²/m³
Resposta:
Primeiramente, deve-se extrair os dados.
Para verificar se um planeta está na órbita do nosso Sistema Solar, é necessário que a razão entre o seu período de órbita ao quadrado e o valor do seu semieixo maior ao quadrado seja igual ou próximo de 2,98.10-34 anos²/m³, ou seja, deve-se utilizar a terceira lei de Kepler. Para isso, o período deve estar medido em anos e o raio médio, em metros. Como foi dado que UA = 1,48 \(·\) 108 km, deve-se converter esse valor em metros, multiplicando-o por 10³ e, em seguida, por 2,76.
r = 1,48 · 108 · 10³ · 2,76 = 4,0848 · 10¹¹ m
Substituindo na terceira lei de Kepler:
\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{{4,6}^{2}}{(4,0848·{10}^{11})^3}=\frac{21,16}{66,33·{10}^{33}}=0,319.10^{-33}=3,19·10^{-34}anos^{2}/m3\)
O valor do raio médio da órbita foi obtido por aproximação, e algumas casas decimais não foram utilizadas. O valor de 3,19 \(·\) 10—34 é muito próximo do valor médio 2,98 \(·\) 10—34. Sendo assim, pode-se considerar que Ceres orbita o nosso Sol.
Um satélite orbita um corpo fictício de massa igual a 3,2·1020 kg. Sabendo que o raio dessa órbita é igual a 4 \(·\) 108 metros, quantos anos são necessários para um ciclo completo desse satélite?
Resposta:
Extraindo os dados do exercício:
-
M = 3,2 · 1020 kg
-
r = 4 · 108 metros
-
T = ?
Como o exercício não está tratando de um corpo em nosso Sistema Solar, deve-se utilizar a regra geral da terceira lei de Kepler.
\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{5,92.{10}^{11}}{M}\)
Como o objetivo é descobrir o valor de T, deve-se isolá-lo. Dessa forma, r³ passará para o outro lado da igualdade, multiplicando o numerador.
\(T^2=\frac{5,92.{10}^{11}·{r}^{3}}M\)
\(T^2=\frac{5,92·{10}^{11}·(4·{10}^{8})^3}{3,2·{10}^{20}}\)
\(T^2=\frac{5,92·{10}^{11}·64·{10}^{24}}{3,2·{10}^{20}}\)
\(T^2=\frac{378,88·{10}^{35}}{3,2·{10}^{20}}\)
\(T^2=118,4·{10}^{15}\)
Como a incógnita está elevada ao quadrado, acrescenta-se uma raiz quadrada em ambos os lados da equação. Dessa forma, o expoente será anulado com o radical.
\(\sqrt{T^2}=\sqrt{118,4·{10}^{15}}\)
\(T=3,44·108 anos\)
Videoaula sobre as leis de Kepler
Exercícios resolvidos sobre a terceira lei de Kepler
Questão 1
A lua do planeta XXXWWT (fictício) gasta algo em torno de 18 dias para completar seu ciclo em torno dele. A órbita descrita por essa lua possui formato elíptico. O semieixo maior dessa órbita mede aproximadamente 1,5·105 km. Qual é a massa do planeta XXXWWT?
a) 2,5 · 10²³ kg
b) 7,8 · 1045 kg
c) 8 · 1038 kg
d) 4,1 · 1061 kg
e) 9 · 10³³ kg
Resposta
Extraindo os dados:
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T = 18 dias
-
r = 1,5·105 Km
-
M = ?
Primeiramente, deve-se deixar as unidades de medida em harmonia, convertendo dias em anos (dividindo por 360, já que um ano possui 360 dias) e quilômetros em metros (multiplicando o valor fornecido por 10³).
\(T\ =\ \frac{18\ dias}{360}=0,05\ anos\)
\(r=1,5·{10}^{5}·{10}^{3}=1,5·{10}^{8} m\)
Como a órbita não ocorre em torno do Sol, utiliza-se a segunda fórmula e isola-se o M.
\(\frac{T^2}{r^3}=\frac{5,92.{10}^{11}}{M}\)
A massa M passará para o lado esquerdo da igualdade, e o período T e raio médio r passarão para o outro lado da igualdade em posições invertidas.
\(M=\frac{5,92·{10}^{11}·{r}^{3}}{{T}^{2}}\)
\(M=\frac{5,92·{10}^{11}·(1,5·{10}^{8})^{3}}{0,05^{2}}\)
\(M=\frac{5,92·{10}^{11}·3,375·{10}^{24}}{0,0025}\)
\(M=\frac{19,98·{10}^{35}}{0,0025}=7992·{10}^{35}\)
\(M=7,992·{10}^{38}=8·{10}^{38} kg\)
Gabarito: C
Questão 2
Determinado planeta do nosso Sistema Solar possui período de ciclo igual a 84 anos. Sabendo que a sua constante k é de 2,98.10-34 anos²/m³, marque a alternativa que corresponde a esse planeta e o raio médio da sua órbita.
a) Terra — 1,5·10¹¹ m
b) Urano — 2,87·10¹² m
c) Mercúrio — 5,79·10¹º m
d) Vênus — 1,08·10¹¹ m
e) Planeta desconhecido — 3,16·10¹³ m
Resposta:
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T = 84 anos
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K = 2,98·10-34 anos²/m³
-
r = ?
Considerando que o planeta está no nosso Sistema Solar:
\(\frac{T^2}{r^3}=k\)
Isola-se o r:
\(r^3=\frac{T^2}{k}=\frac{{84}^{2}}{2,98·{10}^{-34}}=\frac{7056}{2,98·{10}^{-34}}\)
\(r^3=2367,8·{10}^{34}\)
Como r está elevado ao cubo, deve-se aplicar raiz cúbica em ambos os lados da equação.
\(\sqrt[3]{r^3}=\sqrt[3]{2367,8·{10}^{34}}\)
\(r=2,87·{10}^{12} m\)
Gabarito: B