Como calcular a raiz de um quadrado imperfeito

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Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.

→ Teorema fundamental da aritmética

Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.

Exemplos:

a) 192 = 25·3

b) 75 = 3·52

c) 300 = 2·3·52

→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes

Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:

A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.

→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração

Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:

Passo 1: Fatore o radicando

Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.

Passo 2: Reagrupe os fatores primos

Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.

Passo 3: Aplique a propriedade I

Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.

Passo 4: Aplique a propriedade II

Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.

Passo 5: Cálculo numérico

Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.

Exemplo:

Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.

Solução:

Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:

2592|2 1296|2   648|2   324|2   162|2    81|3    27|3      9|3      3|3

   1|

2592 = 25·34

Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:

2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2

Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:

Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.

Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.

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   Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,

   se torna
   . Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
   • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
     . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva
     na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (
     ) na região direita superior.

2. 2

   Descubra qual é o maior

   inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
   • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
     . Como se sabe que
     , é possível afirmar que
     , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva
     no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva
     (quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.

3. 3

   Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

   • No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
     .

4. 4

   Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:

   .
   • No exemplo, o próximo par à disposição é
     . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que
     . Escreva no canto direito inferior, seguido por
     .

5. 5

   Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

   • No exemplo, preencher os espaços em branco com
     dá como resultado:
     . Esse é um valor maior que
     . Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:
     . Confirma-se que ele atende à necessidade porque
     , então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .

6. 6

   Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

   • No exemplo,
     será subtraído de , resultando em
     .

7. 7

   Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (

   ) como previamente.
   • No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
     ) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (
     ), obtém-se
     — escreva
     no quadrante direito inferior.

8. 8

   Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

   • No exemplo,
     , que é menor ou igual ao número à esquerda (
     ). Observando-se que
     , que é alto demais, você chega à conclusão de que
     é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:
     .

9. 9

   Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

1. 1

   Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área

   de um quadrado. Como essa área tem por fórmula
   , onde
   representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.

2. 2

   Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável

   como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),
   como sendo a segunda,
   como sendo a terceira e assim por diante.

3. 3

   Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável

   ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),
   ao segundo par de casas decimais e assim por diante.

4. 4

   Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).

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   Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que

   ). No exemplo,
   e
   , de modo que
   .
   • Em um exemplo, se você quisesse dividir
     por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar
     de modo que
     . Nesse caso, seria igual a
     .

6. 6

   Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais

   , no caso de uma resposta com três casas decimais
   e assim por diante.
   • No exemplo,
     . Lembre-se de que
     representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se
     e
     como exemplo, resultará no número
     . Se
     representa a área do quadrado,
     representa a área do maior quadrado interno,
     representa a área do menor quadrado interno e
     representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.

7. 7

   Subtraia

   de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão
   representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo
   obtido no Passo 4 (
   no exemplo supracitado). Aqui,
   (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).

8. 8

   Procure por , também escrito como

   . No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição
   . Por fim, você restará com
   .

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   Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por

   ), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação
   . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever
   (sendo
   ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .

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    Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área

    até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).

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    Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (

    ) de a fim de obter
    à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição
    (equivalente a escrever duas vezes o valor
    com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.