Selisih siswa yang mengikuti olimpiade nasional dari tingkat sma dan smk adalah titik-titik siswa

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang himpunan tingkat lanjut berupa soal cerita (aplikasi). 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Noncerita)

Today Quote

Tujuan utama dari pendidikan adalah mengubah kegelapan menjadi secerca cahaya.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Dari sekelompok anak terdapat $20$ anak gemar voli, $28$ anak gemar basket, dan $27$ anak gemar pingpong, $13$ anak gemar voli dan basket, $11$ anak gemar basket dan pingpong, $9$ anak gemar voli dan pingpong, serta $5$ anak gemar ketiga-tiganya. Jika dalam kelompok tersebut ada $55$ anak, banyak anak yang tidak gemar satu pun dari ketiga jenis permainan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ anak                   C. $15$ anak
B. $13$ anak                D. $18$ anak

Misalkan $x$ menyatakan jumlah siswa yang tidak gemar ketiga jenis permainan tersebut. 
Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi, berlaku
$$\begin{aligned} x &= 55 -(20+28+27) + (13+11+9) -5 \\ & = 55 -75 + 33 -5 = 8. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{8~\text{anak}}$ yang tidak gemar ketiga jenis permainan tersebut.
(Jawaban A)

Soal Nomor 2
Dari satu kelas terdata $\dfrac{5}{2}$ dari jumlah siswa yang menyukai matematika sekaligus fisika akan mengikuti olimpiade fisika. Empat kali dari jumlah siswa yang menyukai keduanya akan mengikuti olimpiade matematika. Jika jumlah seluruh siswa ada $44$ orang dan siswa yang mengikuti olimpiade secara otomatis menyukai pelajaran yang dilombakan, maka banyak siswa yang hanya mengikuti olimpiade matematika (hanya menyukai matematika) adalah $\cdots$ orang. 
A. $8$                            C. $24$
B. $20$                         D. $32$

Misalkan $M$ dan $F$ berturut-turut menyatakan himpunan siswa yang menyukai matematika dan fisika. Diketahui:
$\begin{aligned} \text{n}(F) & = \dfrac{5}{2}\text{n}(F \cap M) \\ \text{n}(M) & = 4\text{n}(F \cap M) \\ \text{n}(F \cup M) & = 44. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{n}(F \cup M) & = \text{n}(F) + \text{n}(M) -\text{n}(F \cap M) \\ 44 & = \dfrac{5}{2}\text{n}(F \cap M) + 4\text{n}(F \cap M)-\text{n}(F \cap M) \\ 44 & = \left(\dfrac52 + 4- 1\right) \text{n}(F \cap M) \\ 44 & = \dfrac{11}{2} \text{n}(F \cap M) \\ \text{n}(F \cap M) & = 44 \times \dfrac{2}{11} = 8. \end{aligned}$$Banyak siswa yang hanya mengikuti olimpiade matematika adalah
$n(M) -n(F \cap M) = 4(8) -8 = 24.$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Data kegiatan sarapan pagi $38$ orang peserta didik adalah sebagai berikut. 
Ada $6$ orang sarapan dengan roti dan nasi goreng. Ada $5$ orang tidak sarapan pagi. Jika banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng dua kali banyak peserta didik yang sarapan roti, maka banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng saja adalah $\cdots \cdot$
A. $35$ orang             C. $25$ orang
B. $30$ orang             D. $20$ orang

Misalkan banyak peserta didik yang sarapan roti adalah $x$ sehingga banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng adalah $2x$. Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} 2x + x -6 & = 38 -5 \\ 3x -6 & = 33 \\ 3x & = 39 \\ x & =13. \end{aligned}$
Banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng adalah $2x = 2(13) = 26$ orang. 
Banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng saja adalah $26-6 = 20$ orang.
(Jawaban D)

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Dalam suatu kelompok siswa terdapat $\color{red}{8}$ siswa yang suka bermain musik dan $\color{blue}{12}$ siswa yang suka menyanyi. Jika banyak keseluruhan siswa ada $\color{purple}{14}$ orang, maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah $\cdots \cdot$

Dengan menggunakan formula $\text{n}(A \cap B) = \text{n}(A) +$ $\text{n}(B) -\text{n}(A \cup B),$ dengan $A$ menyatakan himpunan siswa yang suka bermain musik dan $B$ menyatakan himpunan siswa yang suka menyanyi, maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah
$\text{n}(A \cap B) = \color{red}{8} + \color{blue}{12}-\color{purple}{14}= 6.$
Jadi, ada $\boxed{6}$ siswa yang menyukai bernyanyi sekaligus bermain musik. 

Soal Nomor 2
Suatu kelas terdiri dari $40$ siswa, $25$ siswa di antaranya gemar bermain pingpong, $18$ siswa gemar bermain sepak bola, dan $7$ siswa tidak menyukai keduanya. Banyak siswa yang menyukai keduanya adalah $\cdots \cdot$

Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain pingpong, sedangkan $B$ menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain sepak bola, serta $S$ himpunan semesta.
Diketahui
$\begin{aligned} & \text{n}(S) = 40 \\ & \text{n}(A) = 25 \\ & \text{n}(B) = 18 \\ & \text{n}(A \cup B)^c = 7 \end{aligned}$
Dengan menggunakan formula $\text{n}(A \cap B) =$ $\text{n}(A) +$ $\text{n}(B) + \text{n}(A \cup B)^c$ $- \text{n}(S)$ diperoleh
$\text{n}(A \cap B) = 25 + 18 + 7 -40 = 10.$
Jadi, banyak siswa yang gemar bermain pingpong maupun sepak bola adalah $\boxed{10}$ orang.

Soal Nomor 3
Kelas VII-A terdiri dari $31$ siswa. Sebanyak $15$ siswa mengikuti kompetisi matematika, $13$ siswa mengikuti kompetisi IPA, dan $7$ siswa tidak mengikuti kompetisi tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut adalah $\cdots \cdot$

Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang mengikuti kompetisi matematika, sedangkan $B$ kompetisi IPA, serta $S$ himpunan semesta, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 31 \\ \text{n}(A) & = 15 \\ \text{n}(B) & = 13 \\ \text{n}(A \cup B)^c & = 7 \end{aligned}$
Berarti,
$\begin{aligned} \text{n}(A \cup B) & = \text{n}(S) -\text{n}(A \cup B)^c \\ & = 31-7 = 24. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cap B) & = \text{n}(A) + \text{n}(B) -\text{n}(A \cup B) \\ & = 15 + 13 -24 = 4. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{4}$ siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut.

Soal Nomor 4
Terdapat $60$ orang pelamar yang harus mengikuti tes tertulis dan tes wawancara agar dapat diterima sebagai karyawan sebuah perusahaan. Ternyata $32$ orang karyawan lulus tes wawancara, $48$ orang lulus tes tertulis, dan $6$ orang tidak mengikuti tes tersebut. Banyak pelamar yang diterima sebagai karyawan perusahaan adalah $\cdots \cdot$

Misalkan $A$ menyatakan himpunan pelamar yang lulus tes tertulis, sedangkan $B$ lulus tes wawancara, serta $S$ himpunan semesta, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 60 \\ \text{n}(A) & =48 \\ \text{n}(B) & = 32\\ \text{n}(A \cup B)^c & = 6 \end{aligned}$
Berarti,
$\begin{aligned} \text{n}(A \cup B) & = \text{n}(S) -\text{n}(A \cup B)^c \\ & = 60-6=54. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cap B) & = \text{n}(A) + \text{n}(B) -\text{n}(A \cup B) \\ & = 48+32 -54 = 26. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{26}$ pelamar yang diterima sebagai karyawan perusahaan itu.

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 5
Dari $120$ orang mahasiswa semester $7$ di suatu sekolah tinggi, diketahui $100$ mahasiswa mengambil paling sedikit satu mata kuliah aplikasi pilihan, yaitu mata kuliah Asuransi, Perbankan, dan Transportasi. Diketahui juga $65$ orang mengambil Asuransi, $45$ orang mengambil Perbankan, $42$ orang mengambil Transportasi, $20$ orang mengambil Asuransi dan Perbankan, $25$ orang mengambil Asuransi dan Transportasi, dan $15$ orang mengambil Perbankan dan Transportasi.

1. Tentukan banyaknya mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah tersebut. 
2. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi. 
3. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan. 
4. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Transportasi. 
5. Gambarkan diagram Venn.

Misalkan $A$ menyatakan himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Asuransi, $P$ perbankan, dan $T$ transportasi, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} n(S) & = 120 \\ n(A \cup P \cup T) & = 100 \\ n(A) & = 65 \\ n(P) & = 45 \\ n(T) & = 42 \\ n(A \cap P) & = 20 \\ n(A \cap T) & = 25 \\ n(P \cap T) & = 15 \end{aligned}$
Jawaban a) 
Ditanya: $n(A \cap P \cap T)$
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cup P \cup T) & = \text{n}(A) + \text{n}(P) + \text{n}(T)-\text{n}(A \cap P)- \text{n}(A \cap T)- \text{n}(P \cap T) + \text{n}(A \cap P \cap T) \\ 100 & = 65 + 45 + 42 -20 -25 -15 + \text{n}(A \cap P \cap T) \\ 100 & = 92 + \text{n}(A \cap P \cap T) \\ \text{n}(A \cap P \cap T) & = 100-92 = 8 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{8}$ mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah itu sekaligus. 
Jawaban b)
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Perbankan, tetapi tidak mengambil mata kuliah Transportasi = $20 -8 = 12$ orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Perbankan = $25 -8 = 17$ orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi adalah 
$\boxed{65 -12 -17-8 = 28}$ orang. 
Jawaban c) 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Perbankan, tetapi tidak mengambil mata kuliah Transportasi = $20 -8 = 12$ orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Asuransi = $15 -8 = 7$ orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan adalah
$\boxed{45-12 -7 -8 = 18}$ orang. 
Jawaban d) 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Asuransi = $15 -8 = 7$ orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Perbankan $= 25 -8 = 17$ orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Transportasi adalah
$\boxed{42-17 -7 -8 = 10}$ orang. 
Jawaban e)

Soal Nomor 6
Dari $50$ siswa, $30$ siswa menyukai aritmetika, $30$ siswa menyukai geometri, dan $30$ siswa menyukai aljabar. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan geometri adalah $15$ orang. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan aljabar juga $15$ orang, sama halnya dengan yang menyukai aljabar dan geometri. Berapa banyak siswa yang menyukai ketiga-ketiganya?

Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang menyukai aritmetika, $G$ geometri, dan $J$ aljabar, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 50 \\ \text{n}(A) & = 30 \\ \text{n}(G) & = 30 \\ \text{n}(J) & = 30 \\ \text{n}(A \cap G) & = 15 \\ \text{n}(A \cap J) & = 15 \\ \text{n}(G \cap J) & = 15 \end{aligned}$
Ditanya: $\text{n}(A \cap G \cap J)$
$$\begin{aligned} \text{n}(S) & = \text{n}(A) + \text{n}(G) + \text{n}(J)- \text{n}(A \cap G)- \text{n}(A \cap J)- \text{n}(G \cap J) + \text{n}(A \cap G \cap J) \\ 50 & = 30 + 30 + 30 -15 -15 -15 + \text{n}(A \cap G \cap J) \\ 50 & = 45 + \text{n}(A \cap G \cap J) \\ \text{n}(A \cap G \cap J) & = 50-45 = 5 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{5}$ siswa yang menyukai aritmetika, geometri, dan aljabar sekaligus.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Himpunan Ganda

Soal Nomor 7
Di antara $100$ siswa, $32$ siswa menyukai PKn, $20$ menyukai IPS, dan $45$ menyukai IPA, $7$ menyukai PKn dan IPS, $10$ menyukai IPS dan IPA, dan $15$ menyukai PKn dan IPA. Diketahui juga sebanyak $30$ siswa tidak menyukai ketiganya.

1. Berapa siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran tersebut? 
2. Berapa siswa yang hanya menyukai PKn? 
3. Berapa siswa yang hanya menyukai IPS? 
4. Berapa siswa yang hanya menyukai IPA? 
5. Berapa siswa yang hanya menyukai satu dari tiga mata pelajaran tersebut?

Misalkan $P$ menyatakan himpunan siswa yang menyukai PKn, $I$ IPS, dan $A$ IPA, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 100 \\ \text{n}(P \cup I \cup A)^c & = 30 \\ \text{n}(P) & = 32 \\ \text{n}(I) & = 20 \\ \text{n}(A) & = 45 \\ \text{n}(P \cap I) & = 7 \\ \text{n}(P \cap A) & = 15 \\ \text{n}(I \cap A) & = 10 \end{aligned}$
Jawaban a) 
Ditanya: $\text{n}(P \cap I \cap A)$
$$\begin{aligned} \text{n}(S) -\text{n}(P \cup I \cup A)^c & = \text{n}(P) + \text{n}(I) + \text{n}(A)- \text{n}(P \cap I)- \text{n}(P \cap A)- \text{n}(I \cap A) + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ 100 -30 & = 32 + 20 + 45 -7 -15 -10 + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ 70 & = 65 + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ \text{n}(P \cap I \cap A) & = 70-65 = 5 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{5}$ siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran itu sekaligus. 
Jawaban b) 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPS, tetapi tidak menyukai IPA
$= \text{n}(P \cap I) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 7 -5 = 2$ orang. 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPA, tetapi tidak menyukai IPS
$=\text{n}(P \cap A) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 15-5 = 10$ orang. 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai PKn adalah
$\begin{aligned} = & \text{n}(P) -2 -10 -\text{n}(P \cap I \cap A) \\ = &  32 -2- 10 -5 = 15~\text{orang}.\end{aligned}$ 
Jawaban c) 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPS, tetapi tidak menyukai IPA
$= \text{n}(P \cap I) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 7 -5 = 2$ orang. 
Banyaknya siswa yang menyukai IPS dan IPA, tetapi tidak menyukai PKn
$=\text{n}(I \cap A) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 10-5 = 5$ orang. 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai IPS adalah
$\begin{aligned} = & \text{n}(I)-2 -5 -\text{n}(P \cap I \cap A) \\ = & 20 -2 -5 -5 = 8~\text{orang}. \end{aligned}$ 
Jawaban d) 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPA, tetapi tidak menyukai IPS
$=\text{n}(P \cap A) -\text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 15-5 = 10$ orang. 
Banyaknya siswa yang menyukai IPS dan IPA, tetapi tidak menyukai PKn
$=\text{n}(I \cap A) – \text{n}(P \cap I \cap A)$ $= 10-5 = 5$ orang. 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai IPA adalah
$\begin{aligned} = & \text{n}(A) -2 -10 + \text{n}(P \cap I \cap A) \\ = & 45 -10 -5 -5 = 25~\text{orang}.\end{aligned}$ 
Jawaban e) 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai satu dari tiga mata pelajaran tersebut adalah $\boxed{15+8+25 = 48}$ orang. 

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Universitas Tanjungpura Tahun 2018)
Sebanyak $115$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, $71$ mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus, dan $56$ mahasiswa mengambil mata kuliah Geometri. Di antaranya $25$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Kalkulus, $14$ mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit dan Geometri, dan $9$ mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus dan Geometri. Jika terdapat $196$ mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari tiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil tiga mata kuliah itu sekaligus?

Misalkan $M, K, G$ berturut-turut menyatakan himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, Kalkulus, dan Geometri.
Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
$$|M \cap K \cap G|  = 196- (115 + 71 + 56) + (25 + 14 + 9) = 2$$Jadi, ada $2$ mahasiswa yang mengambil tiga mata kuliah itu sekaligus.