Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
- Função Seno
- Função Cosseno
- Função Tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 sen x 1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Gráfico da função seno
Leia também: Lei dos Senos.
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 cos x 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Leia também: Lei dos Cossenos.
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:
f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positiva quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
Gráfico da função tangente
Leia mais sobre o tema:
Exercícios de funções trigonométricas
Exercício 1
(UFAM) O menor valor não negativo côngruo ao arco de rad é igual a:
a) π/5 rad b) 7 π/5 rad c) π rad d) 9 π/5 rad
e) 2 π rad
Resposta correta: a) π/5 rad
Arcos côngruos são os que possuem a mesma localização no círculo trigonométrico, em que o maior em módulo, está adiantado ou atrasado um determinado número de voltas completas (360° ou ).
Por exemplo, 30° e 390° são côngruos pois, 30° + 360° = 390°. O mesmo exemplo em radianos fica: .
Dentre todos os côngruos de , queremos o menor que seja positivo. Subtraindo volta por volta, encontramos este valor.
Subtraindo a primeira volta ( ).
Subtraindo a segunda volta.
Se subtrairmos a terceira volta, teremos:
Neste caso, o valor já será negativo. Desta forma, concluímos que o menor valor côngruo ao arco de que seja positivo é .
(Cefet-PR) A função real f(x) = a + b . sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale:
a) 13 b) 9 c) 8 d) – 4
e) 10
Resposta correta: a) 13
Em funções trigonométricas do tipo f(x) = a + bsen cx + d, os termos a, b, c e d alteram características nas funções seno e cosseno.
O termo a translada a função para cima com a > 0 e para baixo se a
O termo b aumenta ou diminui a amplitude vertical. Se b > 1 amplia e, se b
O termo c "distende", amplia o período se c 1.
De -7 a 9 temos que:
9 - (-7) = 16
Portando, a amplitude, que é a distância entre o eixo de simetria da função e o topo é 8. Assim b = 8.
Como o limite superior é 9, a = 1, pois 8 + 1 = 9.
O período se relaciona com c por:
Substituindo c e calculando para p, temos:
Somando os três valores:
a + b + c = 1 + 8 + 4 = 13.
Exercício 3
(UFPI) O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é:
a) 3π b) 2π/3 c) 3π – 2 d) π/3 – 2
e) π/5
Resposta correta: b) 2π/3
O período da função é determinado por:
Onde c é o termo que multiplica x, no caso, x = 3.
Portanto:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.