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proporcionais. b. ( ) A massa de uma pessoa e a sua idade são grandezas que não envolvem proporcionalidade. c. ( ) A quantidade de litros de combustível e o valor pago são grandezas inversamente proporcionais. d. ( ) A velocidade de um automóvel e o tempo gasto em um determinado percurso são grandezas diretamente proporcionais. 5. Veja a situação: Para paginar um livro com 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Deseja-se disponibilizar apenas 30 linhas por página. a. Quais são as grandezas envolvidas nesse contexto? Elas são direta ou inversamente proporcionais? Por que? b. Qual é a constante de proporcionalidade entre as grandezas envolvidas? Explique. MATEMÁTICA | 71 12 | MATEMÁTICA AULAS 07 E 08 - PENSANDO SOBRE A PROPORCIONALIDADE INVERSA Objetivos das aulas: • Resolver situações-problema que envolvam variação de proporcionalidade inversa entre duas grandezas com ou sem a aplicação de regra de três; • Representar a relação de proporcionalidade inversa entre duas grandezas por uma relação algébrica; • Elaborar problemas que envolvam o conceito de proporcionalidade inversa entre duas grandezas. 1. Um aluno do Ensino Médio estava estudando para a sua avaliação bimestral de Matemática quando se deparou com a seguinte questão: “Um homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 5 km/h, ele demora 6 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma velocidade 3 km/h?” Ele leu o problema e o resolveu da seguinte maneira: Velocidade (em km/h) Tempo (em horas) 5 km/h 6 h 3 km/h x h 63 5 181856356 3 5 ,xxxx x =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=⇒ Para concluir, o aluno forneceu a resposta: “Assim, à velocidade de 3 km/h, o homem percorrerá essa distância em 3,6 horas.” O que você considera: a solução desse aluno está correta? Justifique sua resposta. MATEMÁTICA | 13 2. Um prêmio em dinheiro será distribuído entre os funcionários de uma empresa, como bônus de final de ano. Inicialmente, seriam R$ 50.000,00 divididos igualmente entre os 20 funcionários. Acontece que, às vésperas da confraternização, houve o anúncio de que 5 dos funcionários mais antigos receberiam o valor dobrado. Dessa forma, se essa alteração acontecer, quanto receberá cada colaborador dessa empresa? 3. Observe a informação a seguir: “Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários com a mesma capacidade de produção, em quantos dias a cobertura estaria pronta?” a. Quais as grandezas envolvidas nessa situação? Há proporcionalidade entre as grandezas? Justifique sua resposta. b. Se desejassem fazer uma cobertura semelhante a essa em apenas 30 dias o que deveria acontecer? Por quê? 72 | MATEMÁTICA 12 | MATEMÁTICA AULAS 07 E 08 - PENSANDO SOBRE A PROPORCIONALIDADE INVERSA Objetivos das aulas: • Resolver situações-problema que envolvam variação de proporcionalidade inversa entre duas grandezas com ou sem a aplicação de regra de três; • Representar a relação de proporcionalidade inversa entre duas grandezas por uma relação algébrica; • Elaborar problemas que envolvam o conceito de proporcionalidade inversa entre duas grandezas. 1. Um aluno do Ensino Médio estava estudando para a sua avaliação bimestral de Matemática quando se deparou com a seguinte questão: “Um homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 5 km/h, ele demora 6 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma velocidade 3 km/h?” Ele leu o problema e o resolveu da seguinte maneira: Velocidade (em km/h) Tempo (em horas) 5 km/h 6 h 3 km/h x h 63 5 181856356 3 5 ,xxxx x =⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=⇒ Para concluir, o aluno forneceu a resposta: “Assim, à velocidade de 3 km/h, o homem percorrerá essa distância em 3,6 horas.” O que você considera: a solução desse aluno está correta? Justifique sua resposta. MATEMÁTICA | 13 2. Um prêmio em dinheiro será distribuído entre os funcionários de uma empresa, como bônus de final de ano. Inicialmente, seriam R$ 50.000,00 divididos igualmente entre os 20 funcionários. Acontece que, às vésperas da confraternização, houve o anúncio de que 5 dos funcionários mais antigos receberiam o valor dobrado. Dessa forma, se essa alteração acontecer, quanto receberá cada colaborador dessa empresa? 3. Observe a informação a seguir: “Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários com a mesma capacidade de produção, em quantos dias a cobertura estaria pronta?” a. Quais as grandezas envolvidas nessa situação? Há proporcionalidade entre as grandezas? Justifique sua resposta. b. Se desejassem fazer uma cobertura semelhante a essa em apenas 30 dias o que deveria acontecer? Por quê? MATEMÁTICA | 73 14 | MATEMÁTICA 4. Para paginar um livro com 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Se colocarmos 30 linhas em cada página, quantas páginas serão necessárias para garantir o mesmo livro? 5. Para encher um tanque são necessários 30 recipientes de 6 litros cada um. Se forem usados recipientes com 3 litros cada, quantos serão necessários para encher o mesmo tanque? Qual é a razão de proporcionalidade entre as grandezas quantidade de recipientes e capacidade (em litros)? Represente-a por meio de uma expressão algébrica. 6. Pense sobre os conceitos estudados sobre grandezas, proporcionalidade, constante de proporcionalidade, proporcionalidade inversa. Seja criativo e, na sua dupla, elabore um problema que seja possível solucionar a partir desses conceitos. Consulte as atividades desenvolvidas nas aulas, se considerar necessário. Após a elaboração, troque o seu problema com a dupla vizinha e resolva. Para finalizar, siga as orientações do professor e socialize o problema e a sua resolução com a turma. 74 | MATEMÁTICA 14 | MATEMÁTICA 4. Para paginar um livro com 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Se colocarmos 30 linhas em cada página, quantas páginas serão necessárias para garantir o mesmo livro? 5. Para encher um tanque são necessários 30 recipientes de 6 litros cada um. Se forem usados recipientes com 3 litros cada, quantos serão necessários para encher o mesmo tanque? Qual é a razão de proporcionalidade entre as grandezas quantidade de recipientes e capacidade (em litros)? Represente-a por meio de uma expressão algébrica. 6. Pense sobre os conceitos estudados sobre grandezas, proporcionalidade, constante de proporcionalidade, proporcionalidade inversa. Seja criativo e, na sua dupla, elabore um problema que seja possível solucionar a partir desses conceitos. Consulte as atividades desenvolvidas nas aulas, se considerar necessário. Após a elaboração, troque o seu problema com a dupla vizinha e resolva. Para finalizar, siga as orientações do professor e socialize o problema e a sua resolução com a turma. MATEMÁTICA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 2 MATEMÁTICA | 1 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 2 AULAS 01 E 02 - PROPORCIONALIDADE EM SEGMENTOS DE RETAS Objetivos das aulas: • Reconhecer o conceito de razão entre duas grandezas; • Calcular a razão entre as medidas de dois segmentos de reta; • Reconhecer os conceitos de proporcionalidade e de segmentos proporcionais; • Calcular a medida de segmentos proporcionais. 1. De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE, São Paulo é o município mais populoso do Brasil, com cerca de 12.325.232 habitantes, seguido pelo Rio de Janeiro, com aproximadamente 6.747.815 habitantes. A densidade demográfica é uma grandeza obtida pela razão entre a quantidade de habitantes e a área territorial da localidade considerada e nos informa quão povoado é esse local. Observe