Peserta didik dapat menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ax2 bx + c = 0 dengan a 1

Diketahui persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar p dan q. Jika a : b = 1 : 3 dan a : c = 1 : 4, nilai -2(p² + q²) adalah...

A. -1

B. -2

C. -4

D. -6

E. -8

Pembahasan :

Diketahui : Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 

                   dengan akar-akar p dan q

                   a : b = 1 : 3 dan a : c = 1 : 4

Ditanyakan : Nilai -2(p² + q²) adalah...?

Jawab :

* Dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan a : b = 1 : 3 dan a : c = 1 : 4, diperoleh :

   * a/b = 1/3

      3a = b

   * a/c = 1/4

      4a = c

* Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, segingga kita bisa menentukan penjumlahan dan perkalian akar-akarnya.

  * p + q = - b/a

              = - 3a/a

              = -3

   * p x q = c/a

               = 4a/a

              = 4

* Selanjutnya kita subsitusikan nilai p + q = -3 dan p x q = 4

    -2(p² + q²) = -2((p + q)² - 2pq)

                      = -2 ((-3)² - 2(4))

                      = -2(9 - 8)

                      = -2(1)

                      = - 2

Jadi, Nilai -2(p² + q²) adalah -2. Jawabannya ( B ).

Itulah pembahasan mengenai materi persamaan kuadrat untuk tingkat SMA/SMK/MA. Semoga bermanfaat dan mudah untuk dipahami. Jika ada kritik dan saran mengenai pembahasan di atas tolong tinggalkan pesan di kolom kemtar yah temen-temen, jadikan kolom komentar untuk dijadikan tempat kita berdiskusi. Kita saling belajar bareng-bareng. Haturrr nuhunnnn dulurrr....

Anda telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.

Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 x 8 = 12 x 6.

Ada dua cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.

Cara Pertama Dengan Menggunakan sifat distributif

ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c dengan

p × q = a × c dan

p + q = b

Contoh soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut dengan menggunakan cara distributif.

1. 2x2 + 7x + 3

2. 3x2 + 16x + 5

3. 2x2 + 5x + 3

4. 3y2 + 8y + 4

5. 5x2 + 13x + 6

Peneyelesaian:

1. 2x2 + 7x + 3

Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 7 adalah 6 dan 1, sehingga

2x2 + 7x + 3

= 2x2 + x +6x + 3

= (2x2 + x) + (6x + 3)

= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

= (x + 3)(2x + 1)

2. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 5 = 15 dan jumlahnya 16 adalah 15 dan 1, sehingga

3x2 + 16x + 5

= 3x2 + 15x + x + 5

= (3x2 + x) + (15x + 5)

= x(3x + 1) + 5(3x + 1)

= (x + 5)(3x + 1)

3. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 5 adalah 3 dan 2, sehingga

2x2 + 5x + 3

= 2x2 + 2x + 3x + 3

= (2x2 + 2x) + (3x + 3)

= 2x(x + 1) + 3(x + 1)

= (2x + 3)( x + 1)

4. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 4 = 12 dan jumlahnya 8 adalah 6 dan 2, sehingga

3y2 + 8y + 4

= 3y2 + 6y + 2y + 4

= (3y2 + 6y) + (2y + 4)

= 3y(y + 2) + 2(y + 2)

= (3y + 2)( y + 2)

5. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 5 × 6 = 30 dan jumlahnya 13 adalah 10 dan 3, sehingga

5x2 + 13x + 6

= 5x2 + 10x + 3x + 6

= (5x2 + 10x) + (3x + 6)

= 5x(x + 2) + 3(x + 2)

= (5x + 3)( x + 2)

Cara Kedua dengan Menggunakan Rumus

ax2 + bx + c = 1/a (ax + m) (ax + n) dengan

m × n = a × c dan

m + n = b

Contoh Soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut dengan menggunakan rumus.

1. 2x2 + 7x + 3

2. 3x2 + 16x + 5

3. 2x2 + 5x + 3

4. 3y2 + 8y + 4

5. 5x2 + 13x + 6

Peneyelesaian:

Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 7 adalah 6 dan 1, sehingga

2x2 + 7x + 3

= ½ (2x + 6)(2x + 1)

= ½ × 2 (x + 3)(2x + 1)

= (x + 3)(2x + 1)

2. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 5 = 15 dan jumlahnya 16 adalah 15 dan 1, sehingga

3x2 + 16x + 5

= (1/3)(3x + 15)(3x + 1)

= (1/3)× 3(x + 5)(3x + 1)

= (x + 5)(3x + 1)

3. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 5 adalah 3 dan 2, sehingga

2x2 + 5x + 3

= ½ (2x + 2)(2x + 3)

= ½ × 2 (x + 1)(2x + 3)

= (x + 1)(2x + 3)

4. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 4 = 12 dan jumlahnya 8 adalah 6 dan 2, sehingga

3y2 + 8y + 4

= (1/3) (3y + 6)(3y + 2)

= (1/3)×3 × (y + 2)(3y + 2)

= (3y + 2)( y + 2)

5. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 5 × 6 = 30 dan jumlahnya 13 adalah 10 dan 3, sehingga

5x2 + 13x + 6

= (1/5) (5x + 10)(5x + 3)

= (1/5) × 5 (x + 2)(5x + 3)

= (5x + 3)( x + 2)

Berdasarkan contoh soal tersebut maka cara yang paling bagus digunakan untuk memfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0 adalah dengan menggunakan cara yang kedua yaitu menggunakan rumus. Selain caranya yang singkat kita juga tidak akan ribet memasangkan bilangan yang sudah kita peroleh. 

Gimana sih, cara menyelesaikan persamaan kuadrat dalam matematika? Yuk, simak tiga cara mudah beserta contohnya berikut ini!

--

Dalam mempelajari ilmu matematika, kamu bakalan banyak bertemu, berkenalan, bahkan berteman sama yang namanya persamaan. Jenis-jenis persamaan dalam matematika pun ada banyak, lho! Ada persamaan linier, persamaan kuadrat, persamaan eksponen, persamaan logaritma, persamaan trigonometri, dan lain sebagainya. Duh, denger namanya aja, udah bikin pusing duluan, ya?

Eits, tenang, guys! Belajar matematika itu nggak pusing kok, asalkan kita bisa memahami konsepnya terlebih dahulu sebelum lanjut mempelajari lebih jauh dan mengerjakan latihan soal. Nah, kali ini, kita akan belajar bersama tentang persamaan kuadrat, nih! Biar kamu paham konsepnya, kita mulai dari pengertian persamaan kuadrat dulu, ya.

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) variabel 1 yang memiliki pangkat tertinggi dua. Ingat, ya, pangkat tertingginya dua! Jadi, kalau kamu nyariin pangkat tiga di persamaan kuadrat, ya kagak bakalan ketemu, yak.

Nah, bentuk umum persamaan kuadrat bisa dituliskan seperti berikut:

ax2 + bx + c = 0

Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

Keterangan:

x = variabel

a = koefisien dari x2

b = koefisien dari x

c = konstanta

Dalam mempelajari persamaan kuadrat, tentunya kamu nggak akan terlepas dari yang namanya menyelesaikan persamaan kuadrat. Hmm, menyelesaikan tuh, maksudnya gimana sih? Emangnya persamaan kuadrat punya masalah, kok harus diselesaiin segala?

Tentu punya, dong! Masalah yang dimiliki persamaan kuadrat terletak pada nilai x-nya.

Jadi, seperti yang udah kita tau dari bentuk umumnya, persamaan kuadrat itu punya variabel x yang nggak diketahui nilainya berapa. Nah, nilai x inilah yang mau kita cari! Cara mencari nilai x adalah dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut.

Terus, cara menyelesaikan persamaan kuadrat kaya gimana, kak?

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan menggunakan faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik atau biasa disebut juga sebagai rumus ABC. Kita bahas satu per satu, ya!

Baca Juga: Cara Menyusun Persamaan Kuadrat dan Contohnya

1. Faktorisasi

Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari penyelesaian dari persamaan kuadrat, dengan cara mencari nilai yang jika dikalikan, maka akan menghasilkan nilai lain.

Ada tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi yang berbeda, yakni seperti berikut:

Dengan x = variabel dan y = konstanta

Next, coba kita kerjakan contoh soal di bawah ini, ya!

Contoh Soal Faktorisasi

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi 5x2 + 13x + 6 = 0!

Jawab:

5x2 + 13x + 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(5x + 3)(x + 2) = 0

5x = −3

x = 

Jadi, penyelesaiannya adalah x =

Lanjuuut, ke pembahasan cara kedua, yaitu kuadrat sempurna.

2. Kuadrat Sempurna

Kuadrat sempurna adalah cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadratnya sehingga menjadi sempurna. Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional.

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna menggunakan rumus berikut:

(x + p)2 = x2 + 2px + p2

Dari bentuk tersebut, kamu bisa ubah menjadi bentuk persamaan dalam (x + p)2 = q

Penyelesaian:

(x + p)2 = q

x + p = ± √q

x = −p ± √q

Biar makin paham, coba kerjakan contoh soal di bawah ini, ya!

Contoh Soal Kuadrat Sempurna

Lengkapi bentuk kuadrat sempurna berikut ini x2 + 6x + 5 = 0!

Jawab:

x2 + 6x + 5 = 0

Ubah menjadi x2 + 6x = −5

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan, yakni 32 = 9. Tambahkan angka 9 di ruas kiri dan kanan, sehingga persamaannya menjadi:

x2 + 6x + 9 = −5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3)2 = 4

(x + 3) = √4

x + 3 = ± 2

a. Untuk x + 3 = 2

x = 2 − 3

x = −1

b. Untuk x + 3 = −2

x = −2 − 3

x = −5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = −1 atau x = −5.

Baca Juga: Ketahui Sifat-Sifat Bentuk Akar & Cara Merasionalkannya

Lanjuuut, ke cara terakhir, yakni rumus kuadratik!

3. Rumus Kuadratik

Selain menggunakan faktorisasi dan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat juga bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik atau biasa dikenal dengan rumus ABC. Rumus kuadratik atau rumus ABC bisa kamu lihat pada gambar berikut.

Next, coba kamu kerjakan contoh soal berikut!

Contoh Soal Rumus Kuadratik

Selesaikan persamaan kuadrat x2 + 4x − 12 = 0 menggunakan rumus kuadratik (rumus ABC)!

Jawab:

x2 + 4x − 12 = 0

a = 1, b = 4, c = −12

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = −6.

--

Nah, itu dia pembahasan tentang cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sudah paham, kan? Kalau kamu masih bingung dan masih ada pertanyaan terkait materi ini, langsung saja tanyakan melalui Roboguru!

Referensi:

Wagiyo, A., Mulyono, S., dan Susanto. (2008). Pegangan Belajar Matematika. Jakarta: Kemendikbud.