Pengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran: Sehingga, untuk menentukan persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:
Persamaan Jarak pada Lingkaran
Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:
Kedudukan Dua LingkaranApabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:
Soal No.1 (UTBK 2019) Lingkaran yang berpusat di (a,b), dengan a,b > 3, menyinggung garis 3x + 4y = 12. Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka 3a + 4b =…. PEMBAHASAN :
⇒ ⇒60 = |3a + 4b – 12| ⇒(3a + 4b – 12 + 60).(3a + 4b -12 – 60) = 0 ⇒(3a + 4b + 48).(3a + 4b – 72) = 0 ⇒ 3a + 4b = 72 Jawaban E Soal No.2 (SBMPTN 2018) Jika lingkaran x2 + y2 + Ax + Ay + A = 0, dengan A > 0, mempunyai jari-jari 1/2 a, maka nilai A adalah… PEMBAHASAN : Dari lingkaran x2 + y2 − ax − ay + a = 0 Didapat:A = −a B = −a C = a Menentukan a dari rumus jari-jari lingkaran: x 4 a2 = 2a2 − 4a a2 − 4a = 0 a(a − 4) = 0 a = 0 atau a = 4 Jawaban D Soal No.3 (SBMPTN 2018) Diketahui dua lingkaran x2 + y2 = 2 dan x2 + y2 = 4. Garis l1 menyinggung lingkaran pertama di titik (1,-1). Garis l2 menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dan l2 adalah….
PEMBAHASAN : L1 ≡ x2 + y2 = 2 Titik pusatnya P1 (0,0) dengan r1 = l1 ≡ x1.x + y1.y = 2 ⇒ 1.x + (-1).y = 2 ⇒ x – y = 2……….persamaan 1 m1 = – (1/-1) = 1 l2 : m1.m2 = -1 1.m2 = -1 m2 = -1 l2 ≡ y = m2.x ± r ⇒ y = -1. x ± 2 ⇒ y = -x ± 2 ⇒ x + y = 2……….. persamaan 2 atau x + y = – 2 Menentukan titik potong l1 dan l2 x – y = 2 x + y = 2 dari kedua persamaan di perolehx = 1 + y = – 1 (1 + , – 1) Jawaban A Soal No.4 (Matematika IPA SPMB 2005) Jika a < 0 dan lingkaran x2 + y2 – ax + 2ay + 1 = 0 mempunyai jari-jari 2, maka koordinat pusat lingkaran tersebut adalah …
PEMBAHASAN : Jawaban : D Soal No.5 (UN 2002) Titik (a,b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = … PEMBAHASAN : Diketahui: A = -2, B = 4 Dari persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 Diperoleh: a = -½A = -½ (-2) = 1 b = -½B = -½ (4) = -2 Sehingga, 2a + b = 2(1) + (-2) = 0Jawaban : A Soal No.6 (Matematika IPA SNMPTN 2012) Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …
PEMBAHASAN : Diketahui: y = 4 Untuk mencari x: (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 (x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25 (x +6)2 + 25 = 25 (x + 6)2 = 0 x = -6 Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4) Jawaban : A Soal No.7 (UN 1998) Diketahui lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0 melalui titik A(5,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan … PEMBAHASAN : Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan: x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0 x = 5, y = -152 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1) + C = 0 25 + 1 – 20 – 2 + C = 0 C = – 4Maka persamaannya menjadi x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 A = 4, B = 2, C = – 4
Jawaban : B Soal No.8 (Saintek SBMPTN 2013) Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r): (x – a)2 + (y –b)2 = r2 (x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12 (x+1)2 + (y –1)2 = 1 x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0 Jawaban : A Soal No.9 (Matematika IPA UM UGM 2010) Syarat agar garis ɑx + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat (-1,3) dan jari-jari 1 adalah a = … PEMBAHASAN : Diketahui: P (-1,3), r = 1, A = a, B = 1
Jawaban : B Soal No.10 (UN 2013) Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1,3) dan berdiameter √40 adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui: a = -1, b = 3, d = √40 r = ½ d = ½ √40 Sehingga persamaan lingkarannya : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – (-1))2 + (y – 3)2 = (½ √40)2 x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10 x2 + y2 + 2x – 6y = 0 Jawaban : E Soal No.11 (Matematika IPA SPMB 2002) Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan …
PEMBAHASAN :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – (- 3))2 = 52 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 Jawaban : A Soal No.12 (EBTANAS 1993) Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0 Menyinggung sumbu x. nilai A yang memenuhi adalah …
PEMBAHASAN : Persamaan lingkarannya: x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0 Dengan pusat P(- ½A ,-½ B) → P(½A, 5) Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5
Jawaban : D Soal No.13 (Matematika IPA SPMB 2003) Jika lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0 yang berpusat di titik (2,3) menyinggung garis y = 1 – x, maka nilai c = … PEMBAHASAN : Diketahui: P(2,3), x + y – 1 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0 Jawaban : C Soal No.14 (UMPTN 2001) Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui: Jari-jari adalah jarak pusat lingkaran titik (x1 , y1) (1,4) ke garis 3x – 4y – 2 = 0 Sehingga persamaan lingkarannya: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 32 x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0 Jawaban : D Soal No.15 (Matematika IPA SNMPTN 2009) Luas daerah yang diarsir pada lingkaran besar adalah 4 kali luas daerah lingkaran kecil. Jika jari-jari lingkaran besar adalah , maka keliling lingkaran kecil adalah …PEMBAHASAN : Jawaban : B Soal No.16 (UN 2006) Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah …
PEMBAHASAN : Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini: Diketahui: Pusat lingkaran berada pada x – y – 2 = 0, misalkan P(a,a – 2) r = BC = AB
a2 + 0 = 0 + a2 – 4a + 4 4a = 4 a = 1 Sehingga dengan P(a,a – 2) → P(1,-1) dan r = 1 persamaan lingkarannya: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 12 x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0 Jawaban :E Soal No.17 (Matematika IPA SPMB 2002) Lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 2y + 17 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 8x – 22y – 7 = 0 …
PEMBAHASAN : Jawaban : A Soal No.18 (UN 2007) Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7,-5) adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui: x1 = 7, y1 = -5 A = 6, B = 4 Persamaan untuk garis singgung:x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x1x + y1y + A/2(x + x1) + B/2 (y + y1) + C = 0 7x – 5y – 3 (x + 7) + 2(y – 5) – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y = 43 Jawaban : A Soal No.19 (Matematika IPA SNMPTN 2012) Lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 memotong sumbu x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = … PEMBAHASAN : Diketahui: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 P(3,4) r = 5 Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 (x – 3)2 + (0 – 4)2 = 25 (x – 3)2 = 9 (x – 3)2 = (±3)2 x = 6 , x = 0
Jawaban : A Soal No.20 (UN 2012) Lingkaran L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …
PEMBAHASAN :
Jawaban : A Soal No.21 (Matematika IPA SPMB 2001) Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah …
PEMBAHASAN : Persamaan lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 (x+2)2 + y2 = -3 + 4 (x+2)2 + y2 = 1 Diketahui: P (-2,0), r = 1 Menentukan gradien: x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½ Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui (-2,0) adalah … y – 0 = ½ (x+2) y = ½ x+1 Jawaban : A Soal No.22 (UN 2007) Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 yang bergradien 10 adalah …
PEMBAHASAN :
Jawaban : B Soal No.23 (Matematika IPA SPMB 2004) Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola y = x2 dan menyinggung sumbu x adalah …
PEMBAHASAN : Soal No.24 (UMPTN 2001) Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y – 15 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui persamaan Lingkaran: 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P (1, 2), A = -2, B =4 Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:
Jawaban : A Soal No.25 (Matematika IPA SPMB 2005) Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 4 dan melalui titik B(4,6). Persamaan L dapat ditulis sebagai …
PEMBAHASAN : Berdasarkan ilustrasi gambar: (OP)2 = a2 + b2 Persamaan (1) (2 + b)2 = a2 + b2 b2 + 4b + 4 = a2 + b2 4b = a2 – 4 Persamaan (2) (4 – a)2 + 36 – 3(4b) = 0 a2 – 8a + 16 + 36 – 3(a2 – 4) = 0 a2 – 8a + 16 + 36 – 3a2 + 12 = 0 2 a2 + 8a – 64 = a2 + 4a – 32 = 0 (a – 4) (a + 8) = 0 a = 4 → a = -8 Untuk a = 4 → b = 3 4b = a2 – 4 4b = 42 – 4 4b = 12 b = 3 Sehingga persamaan Lingkarannya adalah: P(a,b) → (4,3), sedangkan r = b = 3 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 32 x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0 Jawaban : C Soal No.26 (UN 2004) Persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Jawaban : D Soal No.27 (Matematika IPA UM UGM 2013) Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis y = 2 di (3,2) dan menyinggung garis y = -x√3 + 2 adalah …
PEMBAHASAN : Jawaban : E Soal No.28 (UN 2000) Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-3 ,4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r. Nilai r = … PEMBAHASAN : x1 = 10, y1 = 5, C = -25, A = -3, B = 4 Jawaban : C Soal No.29 (Matematika IPA SPMB 2005) Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a maka persamaan garis singgung lingkaran melalui O adalah …
PEMBAHASAN : Jawaban : B Soal No.30 (UN 2003) Salah satu garis singgung lingkaran yang bersudut 120° terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7,6) dan (1,-2) adalah …
PEMBAHASAN : Jawaban : A Soal No.31 (SAINTEK SNMPTN 2014) Misalkan diberikan titik A(1,0) dan B(0,1). Jika P bersifat |PA| : |PB| = √m : √n maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan …
PEMBAHASAN : Diketahui: A(1,0) dan B(0,1)
((x – 1)2 + y2)(x2 + (y – 1)2 ) = m : n m(x2 + (y – 1)2) = n ((x – 1)2 + y2) m(x2 + y2–2y + 1) = n(x2 – 2x +1+ y2) mx2 + my2 – 2my + m = nx2 – 2nx +n + ny2 2(nx – my) = (n – m)(x2 + y2 + 1) Jawaban : E Soal No.32 (EBTANAS 2001) Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,0) pada lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 adalah …
PEMBAHASAN : Pada titik (0,0), persamaan garis polar: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2 Untuk mencari y:(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 (x – 3)(0 – 3)+(y – 4)(0 – 4) = 5 (x – 3)( – 3)+(y – 4)( – 4) = 5 – 3x +9 – 4y +16 = 53x+ 4y –20 = 0 Jawaban : E Soal No.33 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran di bawah ini!
PEMBAHASAN :
Soal No.34 Tentukan persamaan lingkaran dengan data sebagai berikut:
PEMBAHASAN :
Soal No.35 Diketahui lingkaran dengan titik pusat di (3,0) dan memiliki diameter 4 , maka persamaan lingkarannya adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui: Titik pusat (3,0) Diameter = d = 4 Jari-jari = r = 2 Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut: x2 – 8x + y2 = 8 x2 + y2 – 8x – 8 = 0 Jawaban B Soal No.36 Persamaan lingkaran dengan pusat P (5,2) dan menyinggung garis 6x + 8y + 4 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Menentukan jari-jari lingkaran: Titik pusat P (5,2) Persamaan garis: 6x + 8y + 4 = 0
Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut: (a,b) → (5,2) r = 5 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 5)2 + (y – 2)2 = 52 x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 = 25 x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0 Jawaban C Soal No.37 Persamaan lingkaran dengan pusat (-2,3) dan menyinggung garis 5x – 12y + 7 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Titik pusat (-2,3) Persamaan garis 5x – 12y + 7 = 0
Persamaan lingkarannya sebagai berikut: (x – (-2))2 + (y – 3)2 = 32 x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9 x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0 Jawaban A Soal No.38 Perhatikan gambar berikut! Lingkaran memotong sumbu x dititik P dan Q. jika O adalah titik pusat lingkaran, maka cos ∠POQ adalah … PEMBAHASAN : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 6)2 + (y – 8)2 = 102 (x – 6)2 + (0 – 8)2 = 102 x2 – 12x + 36 + 64 = 100 (x – 6)2 = 100 – 64 (x – 6)2 = 36 x – 6 = ± 6 x1 dan x2 = 12 P (0,0) dan Q (15,0) → PQ = 12
Jawaban B Soal No.39 Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 20 yang melalui titik (2, -5) adalah …
PEMBAHASAN : Maka persamaan garis singgung lingkarannya sebagai berikut: Jawaban D Soal No.40 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik (5,3) adalah …
PEMBAHASAN : Persamaan garis singgung lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0 Maka persamaannya menjadi: Jawaban E Soal No.41 Persamaan salah satu garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang melalui titik P(0,8) adalah …
PEMBAHASAN : x.x1 + y.y1 = 16 0.x1 + 8.y1 = 16 y1 = 2 Menentukan x1 dengan persamaan x1 2 + y1 2 = 16 Maka persamaan garis singgung lingkaran, sebagai berikut: Jawaban B Soal No.42 Lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 61 menyinggung garis x = 3 di titik …
PEMBAHASAN : (3 + 2)2 + (y – 3)2 = 61 25 + (y – 3)2 = 61 (y – 3)2 = 36 y – 3 = 6 y = 9 Maka titik singgungnya adalah (3,9) Jawaban D Soal No.43 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 tegak lurus dengan garis y + 2x – 3 = 0 adalah … PEMBAHASAN : m1 = – 2 m1 x m2 = -1 -2 x m2 = -1 m2 = ½ Jawaban B Soal No.44 Persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis lurus 2x – y + 5 = 0 adalah …
PEMBAHASAN : Jawaban D Soal No.45 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0 yang tegak lurus garis y = 5 – 3x adalah …
PEMBAHASAN : Menentukan titik pusat dan jari-jari, sebagai berikut:
Jari-jari = r = 3 Menentukan gradien garis y = 5 – 3x Maka persamaan garis singgungnya, sebagai berikut: Titik pusat (2,-3) → (a,b) , r = 3 , m = 1/3
3y + 9 = x – 2 ± 3 3y – x = ± 3 – 11 Jawaban C Soal No.46 Jika suatu lingkaran memiliki titik pusat yang berada pada kurva y = – x dan melalui titik asal O (0,0). Sedangkan absis titik pusat lingkaran tersebut adalah p, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah …
PEMBAHASAN :
Titik pusat (p, – p) → (x,y) Titik yang dilalui (0,0) → (a,b)
Menentukan gradien garis, sebagai berikut:
m1 . m2 = – 1 -1 . m2 = – 1 m2 = 1 Maka persamaan garis singgungnya yaitu: y = mx y = x Jawaban B Soal No.47 Perhatikan gambar berikut ini! Berdasarkan gambar di atas CD adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan B. Maka panjang garis singgung CD adalah … PEMBAHASAN :
Jawaban A Soal No.48 Terdapat dua buah lingkaran dengan A pusat lingkaran yang berjari-jari 3 cm, B pusat lingkaran yang berjari-jari 6 cm, dan AB = 15 cm. Jika DE adalah garis singgung persekutuan yang memotong AB serta D dan E adalah titik-titik singgungnya. Maka Panjang DE = … PEMBAHASAN : Jawaban C Soal No.49 Perhatikan gambar berikut ini! Pada gambar terdapat dua setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran yang saling bersinggungan. Lingkaran-lingkaran tersebut terdapat di dalam sebuah persegi panjang. Maka panjang jari-jarinya adalah … PEMBAHASAN : Jawaban A Soal No.50 Tentukan nilai A agar lingkaran x2 + y2 – Ax – 12y + 6 = 0 dan garis y = 0.
PEMBAHASAN : x2 + 02 – Ax – 12.0 + 6 = 0 x2 – Ax + 6 = 0
Soal No.51 Tentukan batasan a agar garis y = ax + 4 dan lingkaran x2 + y2 = 2
PEMBAHASAN : Persamaan 1: y = ax + 4 Persamaan 2: x2 + y2 = 2 Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sebagai berikut:x2 + (ax + 4)2 = 2 x2 + a2x2 + 8ax + 16 = 2 (1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0
Soal No.52 Tentukan hubungan kedua lingkaran di bawah ini:
PEMBAHASAN :
|