O que é um triangulo retangulo

O triângulo retângulo possui um ângulo interno medindo 90°, ou seja, ele possui um ângulo reto. O estudo desse tipo de triângulo é muito importante, pois, com ele, resolve-se uma série de problemas práticos por meio de ferramentas importantes, como o teorema de Pitágoras e a trigonometria.

Leia também: Classificação de triângulos – critérios e nomes

Principais características do triângulo retângulo

Sabe-se que um triângulo retângulo possui apenas um ângulo interno medindo 90°. Além dessa característica, podemos mostrar que os demais ângulos internos são menores que 90°.

Considere o triângulo retângulo ABC:

Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assim temos:

α + β + 90° = 180°

α + β = 180° – 90°

α + β = 90°

Observe que a soma dos ângulos α e β resulta em 90°, isso significa que cada um deles deve ser menor que 90°, uma vez que não podem ser iguais a zero.

Devemos atentar para as nomenclaturas utilizadas daqui para frente. O maior lado do triângulo retângulo é chamado de hipotenusa. Os demais lados são chamados de catetos.

A fim de diferenciar os catetos entre si, vamos estabelecer a seguinte regra: o cateto que se encontra de frente a determinado ângulo, será chamado de cateto oposto; e o cateto que está ao lado de determinado ângulo, será chamado de cateto adjacente.

Logo, em relação ao ângulo α, temos:

a → cateto oposto

c → cateto adjacente

Em relação ao ângulo β, temos:

c → cateto oposto

a → cateto adjacente

Observe também que a hipotenusa é sempre fixa, somente os catetos recebem essa diferenciação em sua nomenclatura.

Teorema de Pitágoras

O triângulo retângulo possui uma importante relação algébrica que associa a medida da hipotenusa com as medidas dos catetos. Essa relação é conhecida como teorema de Pitágoras, e, na verdade, trata-se da condição de existência de um triângulo retângulo, isto é: se o teorema de Pitágoras é válido, o triângulo é retângulo, e vice e versa.

“O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

Leia mais: Teorema de Pitágoras – como aplicar?

Trigonometria no triângulo retângulo

Vimos anteriormente que, em um triângulo retângulo, dois ângulos internos são agudos, ou seja, possuem amplitude menor que 90°. Agora vamos determinar as medidas do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.

• Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
• Cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
• Tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e cateto adjacente.

Veja agora os valores do seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo. Observe que os valores do seno, cosseno e tangente mudam dependendo do ângulo de referência:

Em relação ao ângulo α, temos:

Em relação ao ângulo β, temos:

Questão 1 – (PUC-RS) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura:

A distância entre M e N é aproximadamente:

a) 4,2 m

b) 4,5 m

c) 5,9 m

d) 6,5 m

e) 8,5 m

Resolução

Alternativa c.

Veja que, para determinar a distância entre os pontos M e N, é necessário primeiramente descobrir a medida do cateto. Em seguida, veja que precisamos determinar a medida do cateto adjacente ao ângulo de 30° e que foi dada a hipotenusa. A relação trigonométrica que envolve cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno.

Sabemos que √3 ≈ 1,7. Portanto, a bola percorre:

1,5 + 2√3 +1

1,5 + 2(1,7) +1

1,5 + 3,4 + 1

4,9 + 1

5,9 m
 

Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?

Resolução

Inicialmente vamos determinar a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Assim:

Visualizando somente o triângulo menor, veja que temos o cateto oposto ao ângulo de 60° e que precisamos determinar o valor do cateto adjacente. Para isso, devemos utilizar a tangente do ângulo.

Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado c {\displaystyle c}

a {\displaystyle a}

B ^ {\displaystyle {\widehat {B}}}

A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}}

b {\displaystyle b}

Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.

Principais propriedades

Área

Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área T {\displaystyle T}

T = 1 2 a b {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}

onde a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} são os catetos do triângulo.

Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}}

P {\displaystyle P}

( a + b + c ) 2 {\displaystyle {(a+b+c) \over 2}}

s {\displaystyle s}

P A = s − a {\displaystyle PA=s-a}

P B = s − b {\displaystyle PB=s-b}

T = PA ⋅ PB = ( s − a ) ( s − b ) . {\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}

Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.[1]

Alturas

Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:

• A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.[2]:243
• Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.

Em equações,

f 2 = d e {\displaystyle \displaystyle f^{2}=de}

b 2 = c e {\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce}

a 2 = c d {\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}

onde a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d}

e {\displaystyle e}

f {\displaystyle f}

f = a b c {\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}

Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por[4][5]

1 a 2 + 1 b 2 = 1 f 2 {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}}

A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.

Teorema de Pitágoras

O teorema pitagórico afirma que:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).

Isso pode ser afirmado na forma de equação como

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

onde c {\displaystyle c} é o comprimento da hipotenusa e a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} são os comprimentos dos dois lados restantes.

Os triplos pitagóricos são valores inteiros de a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} que satisfazem esta equação.

Inraio e circunraio

O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} e hipotenusa c {\displaystyle c} é

r = a + b − c 2 = a b a + b + c {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}

O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,

R = c 2 {\displaystyle R={\frac {c}{2}}}

Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:[6]

R + r = a + b 2 {\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}}

Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como

a = 2 r ( b − r ) b − 2 r {\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}}

Caracterizações

Um triângulo Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC}

a ≤ b < c {\displaystyle a\leq b<c}

h {\displaystyle h}

R {\displaystyle R}

r {\displaystyle r}

r a {\displaystyle r_{a}}

r b {\displaystyle r_{b}}

r c {\displaystyle r_{c}}

m a {\displaystyle m_{a}}

m b {\displaystyle m_{b}}

m c {\displaystyle m_{c}}

Lados e semiperímetro

• a 2 + b 2 = c 2 ( Teorema de Pitágoras ) {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Teorema de Pitágoras}})}
  
• ( s − a ) ( s − b ) = s ( s − c ) {\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}
  
• s = 2 R + r . {\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}
  
  [7]
• a 2 + b 2 + c 2 = 8 R 2 {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}}
  
  [8]

Ângulos

• A e B são complementares.[9]
• cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = 0 {\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0}
  
  [8][10]
• sin 2 ⁡ A + sin 2 ⁡ B + sin 2 ⁡ C = 2 {\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2}
  
  [8][10]
• cos 2 ⁡ A + cos 2 ⁡ B + cos 2 ⁡ C = 1 {\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1}
  
  [10]
• sin ⁡ 2 A = sin ⁡ 2 B = 2 sin ⁡ A sin ⁡ B {\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}}
  

Área

• T = a b 2 {\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
  
• T = r a r b = r r c {\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
  
• T = r ( 2 R + r ) {\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}
  
• T = P A ⋅ P B {\displaystyle T=PA\cdot PB}
  
  , onde P {\displaystyle P} é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} .[11]

Inraio e exraio

• r = s − c = ( a + b − c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}
  
• r a = s − b = ( a − b + c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}
  
• r b = s − a = ( − a + b + c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}
  
• r c = s = ( a + b + c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}
  
• r a + r b + r c + r = a + b + c {\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
  
• r a 2 + r b 2 + r c 2 + r 2 = a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  
• r = r a r b r c . {\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}
  
  [12]

Altura e medianas

• h = a b c {\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}
  
• m a 2 + m b 2 + m c 2 = 6 R 2 {\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}}
  
  [6]:Prob. 954, p. 26
• O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
• A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.

Círculo inscrito e circunscrito

• O triângulo pode ser inscrito em um semicírculo, com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro (Teorema de Tales).
• O circuncentro é o ponto médio do lado mais longo.
• O lado mais longo é o diâmetro do círculo circunscrito ( c = 2 R ) . {\displaystyle \displaystyle (c=2R).}
  
• O circuncírculo é tangente ao círculo de nove pontos.[8]
• O ortocentro fica no circuncírculo.[6]
• A distância entre o incentro e o ortocentro é igual a 2 r {\displaystyle {\sqrt {2}}r}
  
  .[6]

Referências

1. ↑ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, Julho de 2003, pp. 323-324.
2. ↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
3. ↑ Wentworth p. 156
4. ↑ Voles, Roger, "Integer solutions of a − 2 + b − 2 = d − 2 {\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}
   
   ," Mathematical Gazette 83, Julho de 1999, 269–271.
5. ↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, Julho de 2008, 313–317.
6. ↑ a b c d Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
7. ↑ Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011
8. ↑ a b c d Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
9. ↑ Properties of Right Triangles
10. ↑ a b c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2].
11. ↑ Darvasi, Gyula (março de 2005), «Converse of a Property of Right Triangles», The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76 .
12. ↑ Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization» (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342 

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. «Right Triangle» (em inglês). MathWorld 
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. [S.l.]: Ginn & Co. 

Ligações externas

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