Nyatakan titik berikut ini ke dalam koordinat kutub p dalam kurung 4 4

Koordinat kartesius suatu titik merupakan posisi suatu titik dalam arah sumbu x dan dalam arah sumbu y terhadap titik asal O (0,0) sebagai titik pusatnya. Koordinat kartesius ditulis dengan notasi titik P (x,y).

Koordinat Kutub (Polar) suatu titik merupakan besarnya jarak suatu titik tertentu P (x,y) terhadap titik asal O (0,0) dan besarnya sudut yang terbentuk oleh garis OP terhadap sumbu x. Koordinat kutub ditulis dengan notasi P (r,α°).

Untuk mengkonversi koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat kartesius ----> Koordinat Kutub

P (x,y) ----> P (r, α°)

dimana: r = √x²+y²

α = tan^-1 (y/x) atau tan α = y/x

Nilai α dapat ditentukan dengan menggunakan tabel Matematika Sin Cos Tan atau menggunakan kalkulator. Cara menentukan nilai α dengan kalkulator dilakukan sebagai berikut: a. Misal nilai y = -3 dan x = 4, b. Tekan tombol angka 3 , c. Tekan tombol ± dan tekan tombol : , d. Tekan tombol angka 4 , e. Tekan tombol = , f. Kemudian tekan tombol 2nd atau SHIFT,

g. Terakhir tekan tombol tan,

maka akan muncul hasil berupa angka -36,869... dengan memberikan satuan ° (derajat) bernilai -36,869° atau biasanya ditulis -37°.

Untuk mengkonversi koordinat kutub menjadi koordinat kartesius dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat Kutub ----> Koordinat kartesius

P (r, α°) ----> P (x,y)

dimana: x = r . Cos α°

y = r . Sin α° Contoh Soal Konversi Koordinat: 1. Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub! Penyelesaian: Diketahui: x = 4 dan y = -3

maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5

α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4) = -36,69 ° atau -37° Jadi koordinat kutubnya (5, -37°). 2. Konversikan koordinat kartesius P (6,8) menjadi koordinat kutub! Penyelesaian: Diketahui: x = 6 dan y = 8

maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10

α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6) = 53,13 ° atau 53° Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).

3. Konversikan koordinat kutub P (10,60°) menjadi koordinat kartesius! Penyelesaian: Diketahui: r = 10 dan α = 60°

maka x = r . Cos α = 10 . cos 60° = 10 . 1/2= 5 dan y = r . Sin α = 10 . Sin 60°

= 10 . 1/2√3= 5√3

Jadi koordinat kartesiusnya (5, 5√3).

4. Konversikan koordinat kutub P (20,53°) menjadi koordinat kartesius! Penyelesaian: Diketahui: r = 20 dan α = 53°

maka x = r . Cos α = 20 . cos 53° = 20 . 0,6= 12 dan y = r . Sin α = 20 . Sin 53°

= 20 . 0,8 = 16

Jadi koordinat kartesiusnya (12, 16). 5. Tentukan koordinat kutub jika diketahui koordinat kartesius suatu titik A (-2√3, -2) ! Penyelesaian: Diketahui: x = -2√3 dan y = -2

maka r = √x²+y² = √(-2√3)²+(-2)² = √(4.3)+4 = √12+4 = √16 = 4

α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-2/-2√3) = tan^-1 (1/√3) = 30°

Jadi koordinat kutubnya (4, 30°).

Sekian semoga bermanfaat, aamiin

Page 2

Blog Koma - Koordinat suatu titik dapat disajikan dalam bentuk koordinat kutub dan koordinat cartesius. Koordinat kutub sangat berguna salah satunya dalam ilmu astronomi. Koordinat kutub juga bisa digunakan untuk membuktikan rumus identitas trigonometri, serta rumus jumlah dan selisih sudut perbandingan trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari materi koordinat kutub dan koordinat cartesius , sebaiknya kita pelajari dulu materi "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Hubungan koordinat kutub dan koordinat cartesius

Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , sehingga koordinat kutub ditulis berdasarkan jari-jari lingkaran ($r$) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif. Misalkan koordinat cartesius titik A adalah ($x,y$), dan koordinat kutub titik A adalah ($r, \alpha$), hubungan kedua titik adalah : $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $ . *). Berikut ilustrasi gambarnya

$\clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius : Langsung gunakan hubungan : $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $ $ \clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub : (i). Menentukan jari-jari ($r$) dengan pythagoras $ \, r^2 = x^2+y^2 $ (ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus : $ \sin \alpha = \frac{y}{r} \, $ atau $ \cos \alpha = \frac{x}{r}, \, $ atau $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $ (iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan : 1. $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran I, 2. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif , ada di kuadran II, 3. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran III,

4. $ x \, $ positif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran IV

Contoh : 1). Nyatakan koordinat kutub titik A($8,30^\circ $) ke dalam koordinat cartesius! Penyelesaian : *). Diketahui titik $ A (r , \alpha ) = (8,30^\circ $ artinya $ r = 8 \, $ dan $ \alpha = 30^\circ $ *). Menentukan koordinat cartesiusnya : $ x = r \cos \alpha = 8 \cos 30^\circ = 8 . \frac{1}{2}\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $ $ y = r \sin \alpha = 8 \sin 30^\circ = 8 . \frac{1}{2} = 4 $ Jadi, koordinat cartesiusnya adalah $ A(4\sqrt{3}, 4) $ 2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub : a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $) b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$) Penyelesaian : a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $) artinya $ x = 3 , \, $ dan $ \, y = 3\sqrt{3} $ *). Menentukan jari-jari ($r$) : $ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 } = \sqrt{9 + 27 } = \sqrt{36} = 6 $ *). Menentukan sudut dengan rumus : $ \cos \alpha = \frac{x}{r} $ $ \cos \alpha = \frac{x}{r} \rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{6} \rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 60^\circ $ Karena nilai $ x \, $ positif dan $ y \, $ positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut $ 60^\circ $ Jadi, koordinat kutubnya adalah $ B (6, 60^\circ) $ . b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$) artinya $ x = -\sqrt{3} , \, $ dan $ \, y = 1 $ *). Menentukan jari-jari ($r$) : $ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2 } = \sqrt{3 + 1 } = \sqrt{4} = 2 $ *). Menentukan sudut dengan rumus : $ \sin \alpha = \frac{y}{r} $ $ \sin \alpha = \frac{y}{r} \rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 30^\circ $ Karena nilai $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif, maka titik C ada di kuadran II , Sehingga sudutnya : $ 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $ Jadi, koordinat kutubnya adalah $ C (2, 150^\circ) $ .

Jarak dua titik koordinat kutub

Untuk menghitung jarak dua titik koordinat kutub, caranya menggunakan jarak dua titik pada koordinat cartesius. Artinya kita harus mengubah dulu koordinat kutub menjadi koordinat cartesius. Untuk jarak dua titik koordinat cartesius, silahkan baca materi "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis". Menentukan jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) , *). Koordinat cartesiusnya adalah : $ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $ $ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $ *). Jarak titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) : $ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $ Sehingga jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) adalah

$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Contoh : 3). Tentukan jarak titik A($3,160^\circ $) dan titik B($4, 100^\circ$)! Penyelesaian : *). Diketahui titik-titik $ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $ *). Jarak kedua titik adalah : $ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 - 2.3.4. \cos ( 160^\circ - 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 - 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 - 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 - 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $ Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang. Pembuktian rumus jarak dua titik koordinat kutub : *). Gunakan beberapa persamaan : identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $ Rumus selisih sudut : $ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ *). Pembuktian rumusnya : $ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & - 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) - 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 - \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Jadi, jaraknya adalah $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $