Show
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai logika matematika (umum). Soal juga sudah tersedia dalam berkas PDF yang dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF). Semoga dapat dijadikan referensi untuk belajar. Quote by Bruce LeeJika Anda menghabiskan terlalu banyak waktu untuk memikirkan sesuatu, maka Anda tidak akan pernah menyelesaikannya. Buatlah setidaknya satu gerakan yang pasti setiap harinya untuk mencapai tujuan Anda. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1Urutan nilai kebenaran dari $\neg p\, \land q$ adalah $\cdots \cdot$
Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, dan kolom terakhir untuk $\neg p\, \land q.$ Pernyataan konjungsi akan bernilai BENAR ketika $\neg p$ dan $q$ keduanya bernilai BENAR. (Jawaban C) Soal Nomor 2Urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p)$ adalah $\cdots \cdot$
Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, kolom keempat untuk $q \lor \neg p$, dan kolom terakhir untuk $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p).$ Pernyataan biimplikasi akan bernilai BENAR ketika $p$ dan $q \lor \neg p$ keduanya memiliki nilai kebenaran yang sama. Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p)$ adalah BSSS (dibaca dari atas ke bawah). Jika $p$ bernilai benar dan $q$ bernilai salah, maka pernyataan majemuk di bawah ini yang tidak bernilai benar adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui $p$ benar (B) dan $q$ salah (S). [collapse] Baca Juga: Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika Soal Nomor 4Manakah dari pernyataan majemuk berikut yang bernilai salah?
Pembahasan
Semua pernyataan majemuk di atas dihubungkan oleh disjungsi dan akan bernilai benar ketika “cukup” salah satu pernyataan tunggal bernilai benar. [collapse] Soal Nomor 5Ingkaran dari pernyataan $2 < x \le 10$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Pernyataan $2 < x \le 10$ dapat ditulis dalam bentuk panjang menjadi $x > 2$ dan $x \le 10$ sehingga diperoleh pernyataan konjungsi. [collapse] Soal Nomor 6Negasi dari pernyataan “Untuk setiap nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$” adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor universal (setiap) dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor eksistensial (ada). [collapse] Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika Soal Nomor 7Ingkaran dari pernyataan “Ada siswa SMK yang tidak harus mengikuti praktik kerja industri” adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor eksistensial (ada) dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor universal (semua). [collapse] Soal Nomor 8Pernyataan yang setara dengan “Jika UMR naik, maka semua harga sembako naik” adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Pernyataan yang senilai (ekuivalen) dengan bentuk implikasi adalah kontraposisinya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa [collapse] Soal Nomor 9Pernyataan yang setara dengan “Jika $2 \times 3 = 6$, maka $2+3 = 5$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Pernyataan yang senilai (ekuivalen) dengan bentuk implikasi adalah kontraposisinya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa [collapse] Soal Nomor 10Konvers dari “Jika $n$ bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ ganjil” adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Konvers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p.$ Perhatikan bahwa [collapse] Soal Nomor 11Dari pernyataan “Jika $2 \times 4 = 8$, maka $7 \le 8$”, inversnya adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Invers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $\neg p \Rightarrow \neg q.$ Perhatikan bahwa [collapse] Soal Nomor 12Kontraposisi dari pernyataan “Jika $x$ bilangan bulat, maka $x^2 + 2 > 11$” adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Kontraposisi dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $\neg q \Rightarrow \neg p.$ Perhatikan bahwa [collapse] Soal Nomor 13Pernyataan biimplikasi “$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan asli lebih dari 4” bernilai salah. Banyak nilai $x$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
“$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional” adalah pernyataan yang salah. Agar pernyataan biimplikasi bernilai benar, maka pernyataan tunggal kedua harus salah juga. Oleh karena itu, $x$ yang dipilih tidak boleh merupakan bilangan asli lebih dari $4$. Dengan kata lain, akan ada tak terhingga bilangan lain yang dapat dipilih untuk nilai $x$. [collapse] Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup Soal Nomor 14Negasi dari “2 > 5 jika dan hanya jika 5 < 1” adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Negasi dari pernyataan biimplikasi $p \Leftrightarrow q$ ada dua bentuk, yaitu [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut.
Pembahasan
Sebelumnya perlu ditegaskan bahwa negasi (ingkaran) dari kata ada atau beberapa (kuantor eksistensial) adalah semua, setiap, atau seluruh (kuantor universal), begitu juga sebaliknya. [collapse] Soal Nomor 2Diketahui dua pernyataan berikut.
Pembahasan
Simbol $\land$ menyatakan konjungsi (dihubungkan oleh kata “dan”). Kata “dan” secara logika ekuivalen dengan “tetapi” ketika pernyataannya bersifat kontra. [collapse] Baca Juga: Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi Soal Nomor 3Misalkan $p$ adalah “Sukardi bisa berbahasa Indonesia”, $q$ adalah “Sukardi bisa berbahasa Inggris”, dan $r$ adalah “Sukardi bisa berbahasa Mandarin”. Terjemahkan kalimat majemuk berikut ke dalam notasi simbolik menggunakan operator logika yang sesuai.
Pembahasan
Diketahui: [collapse] Soal Nomor 4Diketahui pernyataan:
Pembahasan
Perhatikan bahwa pernyataan $q$ memuat kuantor universal, yaitu “semua” sehingga $\neg q$ berbunyi ada keluarga yang tidak berbahagia. [collapse] Soal Nomor 5Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik”.
Pembahasan
Jawaban a) Misalkan: $$\begin{aligned} \neg(p\, \land \neg q) & \equiv \neg p~\lor \neg(\neg q) && (\text{Hukum De Morgan}) \\ & \equiv \neg p~\lor q && (\text{Hukum Involusi}) \end{aligned}$$Jadi, pernyataan yang ekuivalen secara logika adalah “Penjualan tidak merosot atau pendapatan naik”. [collapse] Soal Nomor 6Tentukan nilai $x$ agar pernyataan majemuk berikut bernilai benar.
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 7Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan biimplikasi berikut.
Pernyataan biimplikasi bernilai benar ketika dua pernyataan tunggal penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama.
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 8Terdapat $3$ orang yang mengikuti suatu tes, sebutlah $\mathcal{A}, \mathcal{B},$ dan $\mathcal{C}.$ Jika di antara ketiganya, $\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi, maka nilai $\mathcal{C}$ yang paling tinggi. Jika di antara ketiganya, nilai $\mathcal{C}$ bukan yang terendah, maka $\mathcal{B}$ yang memperoleh nilai tertinggi. Apakah kita dapat menentukan urutan nilai tes dari ketiga orang itu secara pasti?
Pembahasan
Kita akan membagi penyelesaian soal ini menjadi dua kasus: i) $\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi dan ii) $\mathcal{A}$ mendapatkan nilai tertinggi. [collapse] |