Jumlah bilangan bulat antara 10 dan 60 yang habis dibagi 4 adalah

Barisan Aritmetika
POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN
BILANGAN

02:34

Suku berikutnya dari barisan bilangan: 1, 3, 7, 15, 31, 6...

Embed Size (px) 344 x 292429 x 357514 x 422599 x 487

C. Aplikasi Barisan dan Deret

Kelas X, Semester 2

BARISAN DAN DERET

Materi W6c

www.yudarwi.com

C. Aplikasi Barisan dan

Deret

Langkah-langkah penyelesaian masalah

(1) Menetapkan variabel- variabel yang

diperlukan

(2) Menentukan pola hubungan antar variabel

kedalam rumus barisan dan deret

(3) Melakukan perhitungan matematis untuk

mendapatkan hasil akhir

Amir mempunyai hutang Rp. 600.000 yang

pembayarannya diangsur setiap bulan sebesar

Rp. 40.000. Selama berapa bulankah ia harus

mengangsur hingga hutangnya lunas ?

A. 13 bulan B. 14 bulan

Nomor W3601

C. 15 bulan D. 16 bulan

E. 17 bulan

Sebuah kendaraan bermotor akan diuji ketahanan

mesinnya dengan cara dikendarai melewati

berbagai kota selama delapan hari berturut-turut.

Pada hari pertama, kendaraan tersebut berhasil

menempuh jarak 15 km, pada hari kedua 25 km,

hari ketiga 35 km dan seterusnya membentuk pola

aritmatika. Berapakah total jarak yang berhasil

ditempuh kendaraan tersebut selama 8 hari ?

A. 360 km B. 400 km C. 440 km

Nomor W7902

D. 480 km E. 520 km

Pada zaman dahulu hiduplah seorang kakek

dengan 9 orang anaknya. Jika anak tertua

berumur 37 tahun dan umur kesembilan anak

tersebut berselisih 3 tahun, maka berapakah

umur anak yang tengah ?

A. 25 tahun B. 26 tahun

Nomor W5403

C. 27 tahun D. 28 tahun

E. 30 tahun

Nomor W9404

Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap

awal bulan sebesar Rp. 200.000,-. Jika pada

pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai

uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka

berapakah banyaknya uang Andi pada

pertengahan bulan Desember 2012 ?

A. Rp. 2.640.000 B. Rp. 2.680.000

C. Rp. 2.720.000 D. Rp. 2.760.000

E. Rp. 2.800.000

Soal Latihan W6c

Aplikasi Barisan dan Deret

Aritmatika

Soal 01W514

Jumlah bilangan bulat antara 10 dan 60 yang habis

dibagi 3 adalah

A. 552 B. 486 C. 462

D. 312 E. 396

Soal 02W693

Jumlah bilangan bulat dari 5 sampai 25 yang tidak

habis dibagi 4 adalah

A. 176 B. 182 C. 198

D. 216 E. 235

Soal 03W533

Jumlah bilangan bulat antara 5 dan 50 yang habis

dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah

A. 272 B. 285 C. 332

D. 341 E. 384

Soal 04W618

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika.

Jika jumlah ketiga bilangan itu 15 dan hasil kalinya

80, maka bilangan yang terkecil adalah

A. 2 B. 6 C. 7

D. 8 E. 9

Soal 05W598

Seorang pegawai sebuah toko mendapat gaji

permulaan sebesar Rp. 100.000,- perbulan. Jika

setiap bulan ia mendapat kenaikan gaji Rp. 5000,-

maka gaji yang ia terima tepat pada awal tahun

kedua sebesar

A. Rp.140.000 B. Rp.145.000

C. Rp.150.000 D. Rp.155.000

E. Rp. 160.000

Soal 06W532

Bila hutang sebesar $ 880 diangsur berturut-turut

tiap bulan $. 25, $. 27, $. 29 dan seterusnya

sampai lunas. Maka lamanya angsuran itu ..

A. 16 bulan B. 20 bulan

C. 34 bulan D. 44 bulan

E. 48 bulan

Soal 07W612

Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan

barisan aritmatika. Jika sisi siku-siku pendeknya

6 cm, maka sisi siku-siku panjangnya adalah

A. 8 cm B. 10 cm

C. 12 cm D. 14 cm

E. 15 cm

Page 2

2 BARISAN BILANGAN REAL
Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusunmenurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanyabarisan dan deret merupakan satu kesatuan pokok bahasan. Sekarang barisan dipahamidari sudut pandang analisis sebagai bentuk khusus dari fungsi. Sedangkan deret akandibahas secara khusus pada bab yang lain.
2.1 Pengertian barisan dan limitnya
Denisi 2.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domainhimpunan bilangan asli N. Jadi barisan adalah fungsi X : N R, dimana setiap n Nnilai fungsi X(n) biasa ditulis sebagai
X(n) := xn
dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan dalam buku iniadalah
X, (xn), (xn : n N).
Contoh 2.1. Beberapa barisan dan cara penulisannya:
a. X := (2, 4, 6, 8, ) merupakan barisan bilangan genap. Dapat juga ditulis sebagaiX := (2n : n N).
b. Y :=(11, 12, 13,
). Dapat juga ditulis Y :=
(1n: n N
).
c. Dalam beberapa keperluan praktis, barisan didenisikan secara rekusif atau in-duktif sebagai berikut {
x1, x2, , xn1 diberikan,xn := f(x1, x2, , xn1).
Barisan Fibonacci adalah barisan yang berbentuk F := (1, 1, 2, 3, 5, 8, ). Barisanini dapat ditulis secara rekursif sebagai berikut :
x1 := 1, x2 := 1, xn := xn1 + xn2, untuk n 3.
Exercise 1. Berikut diberikan beberapa suku awal barisan (xn). Seandainya pola sepertiini tetap, tentukan formula umum suku ke n nya.
1
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
a. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ,b. 1/2,1/4, 1/8,1/16, ,c. 1, 4, 9, 16, ,
Exercise 2. Diberikan barisan yang didenisikan secara rekursif berikut. Tentukan 5suku pertamanya
a. y1 := 2, yn+1 :=12(yn + 2/yn), n 1.
b. z1 := 1, z2 := 2, zn+2 := (zn+1 + zn)/(zn+1 zn), n 3.c. x1 := 1, yn+1 :=
14(2yn + 3), n 1.
Penulisan barisan menggunakan kurung biasa ( ) dimaksudkan untuk membedakan-nya dengan himpunan biasa yang ditulis menggunakan kurung kurawal { }. Padahimpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada barisan, suku-suku yang berbeda ada kemungkinan bernilai yang sama, dan semuanya harus ditulis.Sebagai contoh ambil barisan (xn) yang didenisikan xn := (1)n. Jadi barisannyaadalah
X := (1, 1,1, 1, ).Tetapi bila suku-suku ini dipandang sebagai anggota himpunan maka ditulis
X := {1, 1}.
Denisi 2.2. Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limitdari (xn) jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan asli N (umumnya bergantung pada) sehingga berlaku
|xn x| < untuk setiap n N.
Jika x limit dari barisan X maka X dikatakan konvergen ke x dan ditulis
limX = x, atau lim(xn) = x.
Jika suatu barisan mempunyai limit kita katakan barisan itu konvergen. Sebaliknyajika tidak mempunyai limit kita katakan ia divergen.
Diperhatikan pada denisi ini pernyataan |xnx| < dapat ditulis sebagai x < xn 0, sedangkan kriteria n dicirikan oleh adanya bilangan asli N . Tidak adanyanotasi n pada penulisan lim(xn) dapat dipahami karena barisan yang dibahasadalah barisan takberujung, yaitu banyak sukunya takterhingga.
Muncul pertanyaan apakah mungkin suatu barisan konvergen ke dua limit yang berbeda?Jawaban diberikan secara formal dalam teorema berikut.
2
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Gambar 2.1: Ilustrasi barisan konvergen

Teorema 2.1. Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit. Dengankata lain, jika suatu barisan konvergen maka limitnya tunggal.
Bukti. Andaikan barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xadan xb dengan xa 6= xb. Diberikan := 13 |xb xa|. Karena lim(xn) = xa makauntuk ini terdapat Na sehingga
|xn xa| < untuk setiap n Na.
Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Nb sehingga
|xn xb| < untuk setiap n Nb.
Sekarang untuk n maks {Na, Nb} maka berlaku
|xa xb| = |xa xn + xn xb| |xn xa|+ |xn xb|< +
=2
3|xa xb|.
Akhirnya diperoleh |xaxb| < 23 |xaxb| suatu pernyataan yang kontradiksi.Pengandaianxa 6= xb salah dan haruslah xa = xb, yaitu limitnya mesti tunggal.
Exercise 3. Diberikan barisan bilangan real (xn).
a. Tuliskan denisi barisan (xn) tidak konvergen ke x.
b. Tuliskan denisi barisan (xn) divergen.
Pembahasan barisan di sini ditekankan pada pemahaman teoritis bukan pada aspekteknis seperti menghitung nilai limit barisan. Pekerjaan dominan adalah membuktikansuatu barisan dengan limit telah diketahui, bukan menghitung berapa nilai limit suatubarisan. Contoh-contoh berikut memberikan gambaran bagaimana denisi digunakanuntuk membuktikan kebenaran limit suatu barisan.
3
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Contoh 2.2. Buktikan bahwa lim(1/n) = 0.
Bukti. Secara intuitif fakta ini adalah benar karena kita membagi bilangan 1 denganbilangan yang semakin membesar menuju takhingga sehingga hasilnya mesti nol.Tapi bukti ini tidak formal karena tidak didasarkan pada teori yang ada, misalnyadenisi. Berikut bukti formalnya. Disini kita mempunyai xn :=
1n, dan x = 0.
Diberikan > 0 sebarang. Harus ditemukan bilangan asli N sehingga
|xn x| = |1/n 0| =1
n< untuk setiap n N.
Mudah saja, pada bentuk terakhir ketidaksamaan ini berlaku 1n< . Diselesaikan,
diperoleh n > 1. Jadi N cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih
besar dari 1, atau ceiling dari x yaitu
N = d1/e .
Sebagai contoh, misalkan diberikan := 0.013 maka 1= 76.9231. Jadi cukup
diambil N := 77. Untuk meyakinkan dapat diperiksa bahwa
x77 = 0.0130, x78 = 0.0128, x79 = 0.0127, x80 = 0.0125, x81 = 0.0123, x82 = 0.0122
kesemuanya kurang dari 0.013. Lebih telitinya x77 = 0.012987. Terbukti bahwalim( 1
n) = 0.
Contoh 2.3. Buktikan lim(
n+13n+2
)= 1/3.
Penyelesaian. Di sini kita mempunyai xn :=(
n+13n+2
)dan x = 1/3.
|xn x| = n+ 13n+ 2 13
=
3n+ 3 3n 23(3n+ 2)
=1
3(3n+ 2)
Bentuk terakhir ini akan kurang dari bila
(9n+ 6) > 1, yaitu n >1 69
.
Jadi N cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih besar dari 69, yaitu
bila cukup kecil sehingga 69
tidak negatif diambil
N =
1 69

.
Sebagai contoh, misalkan diberikan := 0.013 maka 169
= 7.8803. Jadi cukupdiambil N := 8. Agar lebih meyakinkan dihitung beberapa nilai |xn 1/3|, untukn = 8, 9, 10, 11, 12, hasilnya
0.0128, 0.0115, 0.0104, 0.0095, 0.0088,
yang kesemuanya kurang dari := 0.013. Terbukti bahwa lim(
n+13n+2
)= 1/3.
4
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Exercise 4. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan
lim
(3n+ 1
2n+ 5
)=
3
2.
Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 0.0023, juga := 0.0132. Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Exercise 5. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan
lim
((1)nnn2 + 1
)= 0.
Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 1/4, juga := 1/16.Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Exercise 6. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan
lim
(1
n 1n+ 1
)= 0.
Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 1/4, juga bila := 1/16. Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Dari beberapa contoh dan latihan ini mestinya dapat disimpulkan bahwa semakin kecil > 0 yang diberikan maka semakin besar indeks N yang dapat diambil. Kenyataan inisesuai dengan denisi bahwa semakin kecil > 0 maka semakin kecil lebar "kerangkeng"dan semakin lama pula suku-suku barisan mulai mengumpul di dalam "kerangkeng" ini.
Kekonvergenan barisan (xn) ditentukan oleh pola suku-suku yang sudah jauh berada diujung, bukan oleh suku-suku awal. Walaupun pada awalnya suku-suku barisan beruk-tuasi cukup besar namun bila pada akhirnya suku-suku ini mengumpul di sekitar titiktertentu maka barisan ini tetap konvergen. Fakta ini diformal dalam istilah ekor barisan.
Denisi 2.3. Misalkan barisan X := (x1, x2, x3, , xn, ) dipotong pada suku ke mdan dibentuk barisan baru
Xm := (xm+1, xm+2, )
maka barisan Xm disebut ekor ke m barisan X.
Jadi ekor barisan merupakan barisan yang dibentuk dengan memotong m buah sukupertama pada barisan semula. Ternyata sifat kekonvergenan ekor barisan dan barisansemula adalah identik, seperti diungkapkan pada teorema berikut.
Teorema 2.2. Barisan X konvergen bila hanya bila ekor barisan Xm juga konvergen,dan berlaku
limX = limXm.
5
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Bukti. () Diberikan > 0. Karena X = (xn : n = 1, 2, ) konvergen, katakanlim(xn) = x maka terdapat bilangan asli N sehingga
|xn x| < untuk setiap n = N,N + 1, N + 2,
Misalkan ekor barisan Xm = {xm+n : n = 1, 2, 3, }. Karena jika n N beraki-bat m+ n N maka untuk N ini berlaku
|xm+n x| < untuk setiap n = N,N + 1, N + 2,
Ini menunjukkan bahwa limXm = x.()Diketahui Xm konvergen, yaitu limXm = x maka untuk > 0 sebarang ter-dapat bilangan asli N sehingga
|xm+n x| < untuk setiap m+ n = N,N + 1, N + 2,
Dengan mengambil N1 = N m maka berlaku
|xn x| < untuk setiap n = N1, N1 + 1, N1 + 2,
Karena itu berdasarkan denisi disimpulkan limX = x.
Pembuktikan limit barisan langsung dari denisi akan menjadi sulit bilamana bentukbarisan yang dihadapi cukup rumit. Melalui denisi dikembangkan "alat-alat" seder-hana yang dapat digunakan untuk membuktik