Fungsi f r → r dan g r → r dirumuskan dengan f x ½x 1 dan g x 2x 4 maka gof )- 1 10

Diketahui fungsi f : R → R, g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x - 1 dan g(x) = (x + 3) / (2 - x), x ≠ 2. Fungsi Invers dari f o g(x) = ....
A. (2x + 4) / (x + 3)
B. (2x - 4) / (x + 3)
C. (2x + 4) / (x - 3)
D. (3x - 2) / (2x + 2)
E. (3x - 3) / (-2x + 2)

Pembahasan

Terlebih dahulu tentukan f o g(x) dengan cara mengganti x pada f(x) dengan g(x).

Catatan:
Cara menginvers fungsi pembagian f(x) = (ax + b) / (cx + d) maka f-1(x) = (-dx + b) / (cx - a)
Jawaban: B

. Diketahui (f o g)(x) = x + 1 dan f(x-2) = (x – 1)/(x – 2). Maka nilai dari g-‘ (2) [dibaca: g invers 2] adalah…

Penyelesaian:

f(x – 2) = (x – 1)/(x – 2)

Inverskan x-2 agar ditemukan nilai dari f(x)

y = x – 2

x = y + 2 <—-> y = x + 2 maka:

f(x) = [(x + 2) – 1]/[(x + 2) – 2]

f(x) = (x + 1)/x

(f o g)(x) = f(g(x))

f(g(x)) = x + 1

[g(x) + 1]/g(x) = x + 1

g(x) + 1 = (x + 1). g(x)

g(x) + 1 = x.g(x) + g(x)

g(x) – x.g(x)
-g(x) = -1

-x.g(x) = -1

g(x) = 1/x

y = 1/x

x = 1/y, maka:

g-‘(x) = 1/x

Jadi, nilai dari g-‘(2) adalah = 1/x = 1/2.

2. Diketahui f(3 + 2x) = 4 – 2x + x². maka f(x) = ….?

Penyelesaian:

Jadi f(x) = 1/4 x² – 10/4x + 37/4

3. Diketahui f(x) = x³ + 4 dan g(x) = 2sinx. Nilai dari (f o g)(-90) adalah…

Penyelesaian:

(f o g)(x) = f(g(x))

= (g(x))³ + 4

= (2sinx)³ + 4

= 8sin³x + 4

Jadi, ( f o g) (-90) adalah

= 8sin³(-90) + 4

= 8.(-1) + 4

= -8 + 4 = -4.

4. Diketahui g(x) = (x² + 2x – 3)/4. Maka g-‘(x) adalah…

Penyelesaian:

Perhatikan penyebutnya, untuk mencari invers sebuah fungsi kuadrat, salah satu caranya adalah mengubah persamaan umum kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Maka:

= x² + 2x – 3

= x² + 2x + 1 – 1 – 3

= (x + 1)² – 4

Jadi,

g(x) = (x² + 2x – 3)/4

g(x) = [(x + 1)² – 4]/4

y = [(x + 1)² – 4]/4

4y = [(x + 1)² – 4]

(x + 1)² = 4y + 4

(x + 1)² = 4(y + 1)

x + 1 = √4(y + 1)

x + 1 = ±2 √(y + 1)

x = -1 ±2 √(y + 1)

g-‘(x) = -1 ±2 √(x + 1)

2. (f o g ) -1 (x ) dan (g o f ) -1 (x ) dari hasil jawaban 1

(f o g ) (x ) = 2 + 2x

(g o f ) (x ) = -4 + 2x.

4. (f o g ) -1 (x ) dan (g o f ) -1 (x ) dari hasil jawaban 3

(f o g ) -1 (x ) = (g -1 o f -1 ) (x ) = g -1 (f -1 (x )) dengan demikian, diperoleh:

(g o f ) -1 (x ) = (f -1 o g -1 ) (x ) = f -1 (g -1 (x )) dengan demikian, diperoleh:

3.Diketahui fungsi f(x) = 2x + 12. Tentukan invers fungsi tersebut.

Jawaban:

f(x) = 2x + 12

y = 2x + 12

2x = y -12

x = (y - 12 )/2

x = y/2 - 6

f-1(y) = y/2 - 6

f-1(x) = x/2 - 6

Jadi, invers fungsi dari f(x) = 2x + 12 adalah f-1(x) = x/2 - 6.

Diberikan fungsi f dan g, yaitu f(x) = 5x +8 dan g(x) = x – 5.a. tentukan (f o g) -1(x)b. tentukan (g o f) -1(x)Jawab :Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi ini.a. Cara 1 :(f o g)(x) = f(g(x))= f(x – 5)=5(x – 5) + 8= 5x – 17(f o g) -1(x) dapat ditentukan sebagai berikut.Misalkan (f o g)(x) = yy = (f o g)(x)y = 5x – 17x =(f o g) -1(y) =(f o g) -1(x) =Jadi, fungsi invers dari (f o g)(x) adalah (f o g) -1(x) =Cara 2 :Kita tentukan dulu f -1 (x) dan g -1 (x).Misalkan y = f(x)y = f(x)y = 5x + 85x = y – 8x =f -1 (y) =f -1 (x) =misalkan y = g(x)y = g(x)y = x – 5x = y + 5g -1 (y) = y + 5g -1 (x) = x + 5dengan demikian, kita dapat menentukan invers dari f o g sebagaiberikut.(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1) (x)= g -1 o( f -1(x))= g -1 ( )= + 5=Jadi, fungsi invers dari (f o g) -1(x) =b. Cara 1 :(g o f)(x) = g(f(x))= g(5x + 8) – 5= 5x + 3(g o f) -1(x) dapat kita peroleh dengan memisalkan y = (g o f)(x)y = (g o f)(x)y = 5x +3x =(g o f) -1(y) =(g o f) -1(x) =jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1(x) =Cara 2 :Dari jawaban a, diperoleh f -1 (x) = dan g -1 (x) = x + 5. dengan demikian diperoleh :(g o f) -1 = (f -1 o g -1)(x)= f -1( g -1 (x))= f -1( x + 5)Jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1 =c. Dari jawaban b, diperoleh(g o f) -1(0) =(f o g) -1(0) =Jadi, (g o f) -1(0 ) ≠ (f o g) -1(0)