Contoh soal dilatasi terhadap titik pusat O(0 0)

Table of Contents Show

2. Dilatasi terhadap Titik Pusat Pa, b
√ Contoh Soal Deret Aritmatika Beserta Jawabannya (LENGKAP)
√ Hukum kesetimbangan kimia : Pengertian, Faktor dan Contohnya
Contoh Soal dilatasi 5.22
√ Barisan Geometri : Pengertian, Rumus dan Contoh Soal
Contoh Soal dilatasi 5.24
√ Barisan Aritmetika: Rumus, Ciri dan Contoh Soal
Video yang berhubungan

191 Transformasi Bidang Datar Contoh Soal 5.22 Diketahui segitiga ABC dengan koordinat-koordinat titik-titik sudutnya adalah A–3, –3, B–1, –3, dan C–2, –1.Tentukan: a. bayangan dari titik-titik sudutnya jikadilatasi terhadap titik pusat O0, 0 dengan faktor dilatasi –2. b. luas dari bayangan bangun ABC. Jawab: a. Diketahui faktor dilatasi = k = –2. k A–3, –3 , ] 2 A –2 –3, –2–3 = A 6, 6 B–1, –3 , ] 2 B –2 –1, –2–3 = B 2, 6 C–2, –1 , ] 2 C –2 –2, –2–1 = C 4, 2 b. Gambar segitiga ABC dan bayangannya segitiga ABC terlihat pada gambar berikut. x 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –1 –2 –3 C B A y y 1 2 3 4 5 6 B C A Pada segitiga A B C, panjang AB = 6 – 2 = 4 satuan, dan panjang CP = 4 satuan. Luas segitiga AB = 1 2 A B C CP = 1 2 4 4 = 8 satuan. Persamaan x = kx dan y = ky disebut persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat O0, 0 dengan faktor dilatasi k. Sama seperti transformasi sebelumnya, dilatasi juga dapat dilakukan dengan perkalian dua matriks. Perhatikan kembali persamaan dilatasi terhadap titik pusat O0, 0 berikut. x = kx y = ky Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh x = k ฀x + 0 y y = 0 · x + k · y Gambar 5.28 Dilatasi segitiga ABC oleh faktor dilatasi –2 terhadap pusat O0, 0 segitiga ABC diperbesar dan berlawanan arah dengan segitiga ABC. Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi 192 Contoh Soal 5.23 Dengan menggunakan matriks, tentukan bayangan dari titik A–5, –3 yang dilatasi terhadap titik pusat O0, 0 dengan faktor dilatasi 3. Jawab: Diketahui A–5, –3 atau x = –5 dan y = –3 dan k = 3. k Bayangan ditentukan dengan persamaan matriks berikut. x y k k x y = maka diperoleh x y = 3 0 3 5 3 = 3 3 3 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 = 15 9 Jadi, bayangan dari titik A–5, –3 adalah A–15, –9. Notes Matriks dilatasi adalah k k dengan k adalah faktor dilatasi

2. Dilatasi terhadap Titik Pusat Pa, b

Sebelumnya, Anda telah belajar dilatasi terhadap titik pusat O0, 0. Sekarang, Anda pelajari dilatasi terhadap titik pusat Pa, b. Perhatikanlah gambar berikut. y y b y x x – a kx – a Ax, y Ax, y y – b ky – b y = b + k y – b x = a + kx – a a x O P Gambar 5.29 Titik Ax, y didilatasi oleh faktor dilatasi k terhadap titik pusat Pa, b Maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. x y k k x y = k k disebut matriks dilatasi terhadap titik pusat O0, 0. 193 Transformasi Bidang Datar Contoh Soal 5.24 Gambarlah bayangan segitiga ABC dengan titik-titik sudutnya A5, 0, B6, 2, dan C3, 3 yang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi P1, 1 dengan faktor dilatasi –2. Jawab: Pertama tentukan terlebih dahulu bayangan dari titik-titik sudutnya. Diketahui titik pusat dilatasi adalah P1, 1 maka a = 1 dan b = 1. Faktor dilatasi = k = –2. k Bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat Pa, b x = a + kx – a y = b + ky – b Untuk A5, 0 maka x = 5 dan y = 0. x = 1 + –25 – 1 = 1 + –8 = –7 y = 1 + –20 – 1 = 1 + 2 = 3 Jadi, bayangan dari A5, 0 adalah A–7, 3. Untuk B6, 2 maka x = 6 dan y = 2. x = 1 + –26 – 1 = 1 + –10 = –9 y = 1 + –22 – 1 = 1 + –2 = –1 Jadi, bayangan dari B6, 2 adalah B–9, –1. Untuk C3, 3 maka x = 3 dan y = 3. x = 1 + –23 – 1 = 1 + –4 = –3 y = 1 + –23 – 1 = 1 + –4 = –3 Jadi, bayangan dari C3, 3 adalah C–3, –3. Bangun datar yang terbentuk adalah sebagai berikut. x 1 2 3 P C C B A A B 4 5 6 –3 2 –2 –2 –3 –7 –1 –3 y 1 2 3 3 –9 9 9 Secara umum, deinisi dilatasi terhadap titik pusat Pa, b dengan faktor skala k adalah sebagai berikut. Jika titik Ax, y didilatasikan terhadap titik pusat Pa, b dengan faktor dilatasi k maka bayangan titik A adalah Ax, y dengan x = a + kx – a y = b + ky – b ditulis Ax, y ฀Aa + kx – a, b+ ky – b [P, k] x = a + kx – a dan y = b + ky – b disebut persamaan dilatasi terhadap titik pusat Pa, b. Gambar 5.30 Segitiga ABC dilatasi oleh faktor dilatasi k = 2 terhadap pusat P1, 1

Written By Ilmuku Duniaku Monday, 2 July 2018

Pada kesempatan ini ID-KU memposting artikel "Soal dan Pembahasan Dilatasi (Perkalian) dengan Matriks". Dilatasi atau perkalian adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu itu disebut pusat dilatasi.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh:

Jika yang didilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasiyang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan dengan [P,k].

Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bangun bayangan yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut:

1. Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. 2. Jika 0 < k < 1, bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. 3. Jika -1 < k < 0, bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. 4. Jika k < -1, bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

1. Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P'(x',y') dengan

Secara pemetaan dapat ditulis:

[O,k] : P(x,y) => P'(kx , ky)

Dengan persamaan matriks pemetaan di atas dapat ditulis:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix}$

Matriks $\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O,k].

Baca Juga: Soal dan Pembahasan Translasi || Refleksi
Soal dan Pembahasan ❶ Tentukanla bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 .

Pembahasan:

Dengan demikian, x' = 3 dan y' = -3/2.

Jadi, bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2).

2. Dilatasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P'(x',y') dengan

x' - a = k(x - a) dan y' - b = k(y - b)

Dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran)

Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\0&-3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}2-3\\-1-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\0&-3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1\\-5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\19\end{pmatrix}$

Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19.

Jadi, bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6,19).

Demikian postingan "Soal dan Pembahasan Dilatasi (Perkalian) dengan Matriks" ini, mudah-mudahan dapat mempermudah anda menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan dilatasi (perkalian).

Anda telah mempelajari tiga jenis transformasi, yaitu translasi, refleksi, dan rotasi. Ketiga jenis transformasi ini termasuk transformasi isometri, yaitu transformasi yang menghasilkan bayangan kongruen (sama ukuran dan sebangun) dengan benda.

Sekarang, Anda akan mempelajari transformasi keempat, yaitu dilatasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi tidak termasuk transformasi isometri karena tidak menghasilkan bayangan yang kongruen.

√ Contoh Soal Deret Aritmatika Beserta Jawabannya (LENGKAP)

Pengertian

Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri yang bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi. Akibatnya, bayangan dari bangun geometri yang didilatasi berubah ukurannya (membesar atau mengecil). Untuk mudahnya, bayangkan bangun yang didilatasi adalah mobil yang sedang melaju ke arah Anda. Dari jauh mobil tampak kecil. Ketika mendekat mobil tampak semakin besar, dan ketika menjauh mobil tampak mengecil kembali. Dilatasi dapat pula dianalogikan dengan mendekatkan suatu objek atau menjauhkan suatu objek dari Anda. Perhatikan Gambar dibawah ini

dari titik pusat dilatasi O, yaitu perpotongan antara tembok dengan lantai. Tinggi lemari mula-mula (menurut orang yang sedang berdiri) adalah 1m. Pada gambar (b), lemari dipindahkan ke arah orang yang sedang berdiri sejauh 2m. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi 4m atau 2 kali posisi mula-mula. Lemari tampak membesar. Tinggi lemari menjadi 2m atau 2 tinggi mula-mula.

Dengan demikian lemari dikatakan mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor dilatasi 2. Begitu juga ketika lemari dipindahkan ke arah kiri sejauh 1 m dari posisi awalnya. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi

√ Hukum kesetimbangan kimia : Pengertian, Faktor dan Contohnya

Apa yang dimaksud dengan faktor dilatasi? Faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak bayangan dari pusat dilatasi dengan jarak titik mula-mula dari titik pusat dilatasi.

Misalkan k adalah faktor dilatasi maka berlaku hubungan berikut.

jika k>1 maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
jika 0<k< 1 maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
jika -1<k< 0 maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Jika k< –1 maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

Telah Anda ketahui, bahwa faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak bayangan dari pusat dilatasi dengan titik mula-mula dari pusat dilatasi. Misalkan k adalah faktor dilatasi, A(x, y) adalah titik yang didilatasikan, dan A'(x’, y’) adalah bayangan dari A. Jika pusat dilatasi adalah O(0, 0), maka faktor dilatasi k adalah sebagai berikut.

Pada Gambar 5.27, tampak segitiga APO dan segitiga A’QO

Jadi, diperoleh bayangan dari A(x, y) adalah A'(kx, ky) Dengan demikian, uraian tersebut memperjelas definisi dilatasi berikut.

Persamaan x’ = kx dan y’ = ky disebut persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi k.

Contoh Soal dilatasi 5.22

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat-koordinat titik-titik sudutnya adalah A(–3, –3), B(–1, –3), dan C(–2, –1).Tentukan:

bayangan dari titik-titik sudutnya jikadilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi –2.
luas dari bayangan bangun ABC.

Jawab:

Sama seperti transformasi sebelumnya, dilatasi juga dapat dilakukan dengan perkalian dua matriks. Perhatikan kembali persamaan dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) berikut.

√ Barisan Geometri : Pengertian, Rumus dan Contoh Soal

Maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.

Sebelumnya, Anda telah belajar dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0). Sekarang, Anda pelajari dilatasi terhadap titik pusat P(a, b). Perhatikanlah gambar berikut.

Secara umum, definisi dilatasi terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor skala k adalah sebagai berikut.

x’ = a + k(x – a) dan y’ = b + k(y – b) disebut persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b).

Contoh Soal dilatasi 5.24

Gambarlahbayangan segitigaABCdengan titik-titik sudutnyaA(5, 0), B(6, 2), dan C(3, 3) yang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi P(1, 1) dengan faktor dilatasi –2.

Jawab: Pertama tentukan terlebih dahulu bayangan dari titik-titik sudutnya. Diketahui titik pusat dilatasi adalah P(1, 1) maka a = 1 dan b = 1.

Faktor dilatasi = k = –2. Bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b)