Observe que para $x<1$ temos que \begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+h\right) ^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2hx+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2x+h\right) =2x. \end{eqnarray*} Show Já para $x>1$ temos que \begin{eqnarray*} g\left( x\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( x+h\right) -1\right] - \left[ 2x-1\right] }{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2. \end{eqnarray*} Para $x=1$ temos que \begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left[ 2\left( 1+h\right) -1 \right] -1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{2h}{h}=2 \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{\left( 1+h\right) ^{2}-1}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{2h+h^{2}}{h} \\ &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\left( 2+h\right) =2. \end{eqnarray*} Temos então que $g$ é bem definida também no ponto $x=1$ e, de modo geral, $g$ pode ser expressa por \begin{equation*} g\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 2x & \text{se }x\leq 1 \\ 2 & \text{se }x>1 \end{array} \right. \text{.} \end{equation*} Como as funções $h\left( x\right) =2x$ e $p\left( x\right) \equiv 2$ são contínuas, temos que $g\left( x\right) $ é contínua para todo $x\neq 1$. Além disto, como $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 1}2x=2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}2=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g\left( x\right) $, segue que $\lim\limits_{x\rightarrow 1}g\left(x\right) =2$. Mas como $g\left( 1\right) =2$, segue que a função $ g\left( x\right) $ também é contínua no ponto $x=1$. A função inversa, como o nome já sugere, é a função f(x)-1, que faz exatamente o inverso da função f(x). Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A lei de formação de uma função inversa faz o contrário do que a função f(x) faz. Por exemplo, se a função pega um valor do domínio e soma 2, a função inversa, ao invés de somar, subtrai 2. Encontrar a lei de formação da função inversa nem sempre é uma tarefa fácil, sendo necessário inverter as incógnitas x e y, bem como isolar y na nova equação. Leia também: Função – tudo que você precisa saber para dominar o assunto Quando uma função admite inversa? Uma função é inversível, ou seja, possui função inversa, se, e somente se, ela for bijetora. É importante lembrarmos o que é uma função bijetora, que é uma função injetora, ou seja, todo elemento da imagem possui um único correspondente no domínio. Isso significa que elementos diferentes no conjunto A precisam estar associados a elementos diferentes no conjunto B, ou seja, não pode haver dois ou mais elementos do conjunto A que possuem o mesmo correspondente no conjunto B. Uma função é sobrejetora se a imagem for igual ao contradomínio, ou seja, não há nenhum elemento do conjunto B que não tenha um elemento no conjunto A associado a ele. Seja a função f: A → B ,em que A é domínio e B é contradomínio, a função inversa de f será a função descrita por f-1 : B→ A, ou seja, o domínio e o contradomínio invertem-se. Exemplo: A função f : A → B é bijetora, pois ela é injetora (afinal, elementos distintos em A estão associados a elementos distintos em B) e também é sobrejetora, pois não sobra nenhum elemento no conjunto B, ou seja, o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Assim sendo, essa função é inversível, e a sua inversa é: Como se determina a lei de formação da função inversa?Para encontrar a lei de formação da função inversa, precisamos inverter as incógnitas, ou seja, trocar x por y e y por x, e posteriormente isolar a incógnita y. Para isso, é importante que a função seja inversível, ou seja, bijetora. → Exemplo 1 Encontre a lei de formação da função inversa de f(x) = x + 5. Resolução: Sabemos que f(x) = y, então y = x + 5. Realizando a inversão de x e y, vamos encontrar a seguinte equação: x = y + 5 Agora, vamos isolar o y: – 5 + x = y É evidente que, se f(x) soma 5 ao valor de x, então a sua inversa f(x) - 1 fará o inverso, ou seja, x menos 5. → Exemplo 2 Dada a função cuja lei de formação é f(x) = 2x – 3, qual será a lei de formação da sua inversa? → Exemplo 3 Calcule a lei de formação da inversa da função y = 2x. Resolução: y = 2x Trocando x por y: x = 2y Aplicando logaritmo dos dois lados: log2x = log22y Leia também: Diferenças entre função e equação Gráfico da função inversaO gráfico da função inversa f -1 será sempre simétrico ao gráfico da função f em relação à reta y = x, o que permite analisar o comportamento dessas funções, ainda que não consigamos descrever a lei de formação da função inversa em alguns casos, devido a sua complexidade. Leia também: Como construir o gráfico de uma função? Exercícios resolvidos1) Se f-1 é a função inversa de f, que vai de R em R, cuja lei de formação f(x) = 2x – 10, o valor numérico de f -1(2) é: a) 1 b) 3 c) 6 d) -4 e) -6 Resolução: → 1º passo: encontrar a inversa de f. → 2º passo: substituir 2 no lugar de x em f -1(x). Alternativa C. 2) Seja f: A → B uma função cuja lei de formação é f(x) = x² + 1, sendo A {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {1,2,5}, é correto afirmar que: a) a função é inversível, pois ela é bijetora. b) a função não é inversível, pois ela não é injetora. c) a função não é inversível, pois ela não é sobrejetora d) a função não é inversível, pois ela não é nem sobrejetora nem injetora. e) a função não é inversível, pois ela é bijetora. Resolução: Para que a função seja inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora. Primeiro vamos analisar se ela é sobrejetora. Para que a função seja sobrejetora, todos os elementos de B precisam possuir um correspondente em A. Para saber isso, vamos calcular cada um de seus valores numéricos. f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5 f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2 f (0) = 0² +1 = 0+1=1 f (1) = 1² +1 = 1+1=2 f (2) = 2² +1 = 4+1=5 Note que todos os elementos de B {1,2,5} possuem um correspondente em A, o que faz com que a função seja sobrejetora. Para que essa função seja injetora, elementos distintos de A devem possuir imagens distintas em B, o que não acontece. Note que f(-2) = f(2) e também que f(-1) = f(1), o que faz com que a função não seja injetora. Como ela não é injetora, ela também não é inversível; portanto, alternativa b. Por Raul Rodrigues de Oliveira
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Raiz de uma Função do 1º Grau e veja a resolução comentada.
Dada a função f: R → R definida por f(x) = x² – 2, calcule: a) f(–1) b) f(1) c) f(0)
Determine os números reais a e b na função f: R → R definida por f(x) = ax + b, sabendo que f(2) = 0 e f(0) = –4.
Dada a função f(x) = x² – 4x + 6, determine os valores de x para que se tenha imagem igual a 3.
(UFMT) Considerando a função f(x) = 3x² – 4x + 7, diga se a expressão f(1) + f(–1) = 2 * f(0) é válida para a função.
Dada as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x, determine: a) f(–1) b) f(x + 1) c) g(4) d) g(x – 2)
Sabendo que f(x – 1) = 2x + 3, calcule: a) f(1) b) f(3)
(U. Católica de Salvador-BA) Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45. Determine o valor de f(2541) – f(2540). a) 1 b) 54 c) 90 d) 99 e) 108
(U. F. Viçosa-MG) Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Considerando que f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine f(3). a) 1 b) 3 c) –3 d) 5 e) –5
f(x) = x² – 2 a) f(–1) = (–1)² – 2 f(–1) = 1 – 2 f(–1) = –1 b) f(1) = 1² – 2 f(1) = 1 – 2 f(1) = – 1 c) f(0) = 0² – 2 f(0) = – 2
f(x) = ax + b f(2) = 2a + b f(0) = 0 * a + b Sistema de equações: 2a + b = 0 2a – 4 = 0 2a = 4 a = 2 Os valores de a e b são 2 e –4 respectivamente, formando a função f(x) = 2x – 4.
f(x) = x² – 4x + 6 f(x) = 3 x² – 4x + 6 = 3 x² – 4x + 6 – 3 = 0 x² – 4x + 3 = 0 ∆ = b² – 4ac ∆ = (–4)² – 4 * 1 * 3 ∆ = 16 – 12 ∆ = 4 Os valores de x são: x = 1 ou x = 3.
f(x) = 3x² – 4x + 7 f(1) + f(–1) = 2 * f(0) f(1) = 3 * 1² – 4 * 1 + 7 f(1) = 3 – 4 + 7 f(1) = 6 f(–1) = 3 * (–1)² – 4 * (–1) + 7 f(–1) = 3 + 4 + 7 f(–1) = 14 2 * f(0) = 2 * [3 * (0)² – 4 * 0 + 7] 2 * f(0) = 2 * [ 7 ] 2 * f(0) = 14 f(1) + f(–1) = 2 * f(0) 6 + 14 = 14 20 = 14 (impossível) A expressão f(1) + f(–1) = 2 * f(0) não é válida para a função f(x) = 3x² – 4x + 7.
a) f(x) = 2x – 3 f(–1) = 2 * (–1) – 3 f(–1) = –2 –3 f(–1) = –5 b) f(x + 1) = 2x – 3 f(x + 1) = 2 * (x + 1) – 3 f(x + 1) = 2x + 2 – 3 f(x + 1) = 2x – 1 c) g(x) = 4 – x g(4) = 4 – 4 g(4) = 0 d) g(x) = 4 – x g(x – 2) = 4 – (x – 2) g(x – 2) = 4 – x + 2 g(x – 2) = 6 – x
A) f(x – 1) = 2x + 3, para f(1) x – 1 = 1 x = 1 + 1 x = 2 f(2 – 1) = 2 * 2 + 3 f(1) = 4 + 3 f(1) = 7 B) f(x – 1) = 2x + 3, para f(3) x – 1 = 3 x = 3 + 1 x = 4 f(4 – 1) = 2 * 4 + 3 f(3) = 8 + 3 f(3) = 11
f(x) = 54x + 45 f(2541) – f(2540) = (54 * 2541 + 45) – (54 * 2540 + 45) f(2541) – f(2540) = 137 214 + 45 – (137 160 + 45) f(2541) – f(2540) = 137259 – 137205 f(2541) – f(2540) = 54 Resposta: item b.
f(–1) = 3 f(–1) = (–1) * a + b –a + b = 3 f(1) = –1 f(1) = 1 * a + b a + b = – 1 Sistema de equações Isolando b na 1ª equação: –a + b = 3 Substituindo b na 2ª equação: a + b = – 1 a + 3 + a = – 1 2a = – 1 – 3 2a = – 4 a = –4/2 a = –2 Calculando b b = 3 + a b = 3 – 2 b = 1 Determinando a função de acordo com f(x) = ax + b → f(x) = –2x + 1. Calculando f(3) f(x) = –2x + 1 f(3) = –2 * (3) + 1 f(3) = – 6 + 1 f(3) = – 5 O valor de f(3) na equação é igual a –5. Resposta: item e. |
Considere a função f:R→ rf R→R definida por f(x 12 2 xf x 1 2 2 x qual é o gráfico dessa função ff)
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