Quando aprendemos a operar potências, a primeira e mais simples regra que dominamos é que devemos sempre multiplicar a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente. Por exemplo, se temos a potência 210, devemos multiplicar o 2 por 10 vezes da seguinte forma: 210 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024 Mas e se o expoente for um número negativo? Como resolver a potência 2– 10? Vejamos uma nova regra que ajudará na resolução de potências com expoente menor do que zero! Dada uma potência x – y, com x e y reais, o seu resultado é igual ao inverso de x elevado a y. Para compreender essa definição, precisamos primeiro compreender o que é o inverso de um número. Dado um número qualquer, seu inverso é a fração cujo numerador é 1, e o denominador é o próprio número. Por exemplo, o inverso de 5 é  Agora se você quiser simplificar mais ainda o processo para encontrar o inverso de uma fração, há uma dica infalível: basta inverter a fração, trocando o denominador de lugar com o numerador! Por exemplo, o inverso de 2/5 é 5/2, o inverso de 7/3 é 3/7 e o inverso de 1/4 é 4/1, ou, simplesmente, 4. Voltando para a pergunta do início do texto, vamos calcular o valor de 2– 10. Vejamos alguns outros exemplos de potências com expoente negativo e observe como esse assunto relaciona-se com a potenciação de números racionais: 1° Exemplo: 3 – 2 O inverso de 3 é 1/3. Logo, para calcular 3 – 2, faremos: 2° Exemplo: 10 – 1 O inverso de 10 é 1/10. Calculando 10 – 1, temos: 3° Exemplo: (3/4) – 3 O inverso de 3/4 é 4/3. Então (3/4) – 3 será dado da seguinte forma: 4° Exemplo: (– 2/3) – 4 O inverso de – 2/3 é – 3/2. Calculando (– 2/3) – 4, teremos: A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”. Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes. Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus resultados. O que é um radical? Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.
Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação. Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a radiciação é o inverso da potenciação. Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a exposição das propriedades dos radicais Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes 1ª Propriedade A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:
2ª Propriedade O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:
3ª Propriedade Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:
4ª Propriedade Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:
5ª Propriedade Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:
6ª Propriedade Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:
7ª Propriedade Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:
Matemática Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso Colégio Estadual Dinah Gonçalves email [email protected] Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com extraído do /jmpmat13.blogspot.com POTENCIAÇÃOA potenciação é uma multiplicação de fatores iguaisExemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8Você sabe também que:2 é a base3 é o expoente8 é a potência ou resultado1) O expoente é para) (+7)² = (+7) . (+7) = +49b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16Conclusão : Quando o expoente for par, a potencia é um número positivo2) Quando o expoente for impara) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32Conclusão : Quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base.EXERCÍCIOS1) Calcule as potências ; a) (+7)²= (+49) b) (+4)² = (+16) c) (+3)² = (+9) d) (+5)³ = (+125) e) (+2)³ = (+8) f) (+3)³ = (+27) g) (+2)⁴ = (+16) h) (+2)⁵ = +32 i) (-5)² = +25 j) (-3)² = +9 k) (-2)³ = -8 l) (-5)³ = -125 m) (-1)³ = -1 n) (-2)⁴ = +16 o) (-3)³ = -27 p) (-3)⁴ = +812) Calcule as potencias: a) (-6)² = +36 b) (+3)⁴ = +81 c) (-6)³ = -216 d) (-10)² = +100 e) (+10)² = +100 f) (-3)⁵ = -243 g) (-1)⁶ = +1h) (-1)³ = -1 i) (+2)⁶ = +64 j) (-4)² = +16 k) (-9)² = +81 l) (-1)⁵⁴ = +1 m) (-1)¹³ = -1 n) (-4)³ = -64 o) (-8)² = +64 p) (-7)² = +493) Calcule as potencias a) 0⁷ = 0 b) (-2)⁸ = 256 c) (-3)⁵ = -243 d) (-11)³ = -1331 e) (-21)² = 441 f) (+11)³ = +1331 g) (-20)³ = -8000 h) (+50)² = 25004) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências) a) 15 + (+5)² = 40 b) 32 – (+7)² = -17 c) 18 + (-5)² = 43 d) (-8)² + 14 = 78 e) (-7)² - 60 = -11f) 40 – (-2)³ = 48 g) (-2)⁵ + 21 = -11 h) (-3)³ - 13 = -40 i) (-4)² + (-2)⁴ = 32 j) (-3)² + (-2)³ =1 k) (-1)⁶ + (-3)³ = -26 l) (-2)³ + (-1)⁵ = -9 CONVEÇÕES: Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo.Exemplos:a) (+7)¹ = +7b) (-3)¹ = -3Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1.Exemplos:a) (+5)⁰ = 1b) (-8)⁰= 1IMPORTANTE!Observe como a colocação dos parênteses é importante:a) (-3)² = (-3) . (-3) = +9b) -3² = -(3 . 3) = -9Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses.EXERCÍCIOS1) Calcule as potências:a) (+6)¹ = +6 b) (-2)¹ = -2c) (+10)¹ = +10 d) (-4)⁰ = +1e) (+7)⁰ = +1 f) (-10)⁰ = +1 g) (-1)⁰ = +1 h) (+1)⁰ = +1 i) (-1)⁴²³ = -1j) (-50)¹ = -50 k) (-100)⁰ = +1 l) 20000⁰ = +12) Calcule: a) (-2)⁶ = 64 b) -2⁶ = -64Os resultados são iguais ou diferentes?R: Deferentes3) Calcule as potências: a) (-5)² = 25 b) -5² = -25 c) (-7)² = +49 d) -7² = -49 e) (-1)⁴ = +1 f) -1⁴ = -14) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências): a) 35 + 5²= 60b) 50 - 4² = -14 c) -18 + 10² = 82 d) -6² + 20 = -16 e) -12-1⁷ = -13 f) -2⁵ - 40 = -72 g) 2⁵ + 0 - 2⁴ = 16 h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = 11 i) -3² + 1 - .65⁰ = -9 j) 4² - 5 + 0 + 7² = 60 k) 10 - 7² - 1 + 2³ = -32 l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = 61 PROPRIEDADES 1) Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes. Observe: a³ . a² = ( a .a .a ) . ( a .a ) = a⁵Note que: a³ . a² = a³ ⁺ ² = a⁵Exemplosa) (-5)⁷ . (-5)² = (-5) ⁷ ⁺ ² = (-5)⁹b) (+2)³ . (+2)⁴ = (+2)³ ⁺ ⁴ = (+2)⁷EXERCÍCIOS1) Reduza a uma só potência:a) 5⁶ . 5² = 5⁹ b) x⁷. x⁸= x¹⁵a) 2⁴ . 2 . 2⁹ = 2¹⁴ b) x⁵ .x³ . x = x⁹ c) m⁷ . m⁰ . m⁵ = m¹² d) a . a² . a = a⁴1) Reduza a uma só potencia: a) (+5)⁷ . (+5)² = (+5)⁹ b) (+6)² . (+6)³ = (+6)⁵ c) (-3)⁵ . (-3)² = (-3)⁷ d) (-4)² . (-4) = (-4)³ e) (+7) . (+7)⁴ = (+7)⁵ f) (-8) . (-8) . (-8) = (-8)³ g) (-5)³ . (-5) . (-5)² = (-5)⁶ h) (+3) . (+3) . (+3)⁷ = (+3)⁹ i) (-6)² . (-6) . (-6)² = (-6)⁵ j) (+9)³ . (+9) . (+9)⁴ = (+9)⁸ 2) Divisão de potências de mesma base: Observe: a⁵ : a² = (a . a . a . a .a ) : (a .a ) = a³Note que: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³Exemplos:a) (-5)⁸ : (-5)⁶ = (-5)⁸⁻⁶ = (-5)²b) (+7)⁹ : (+7)⁶ = (+7)⁹⁻⁶ = (+7)³EXERCÍCIOS1) Reduza a um asó potência:a) a⁷ : a³ = a⁴ b) c⁸ : c² = c⁶ c) m³ : m = m² d) x⁵ : x⁰ = x⁵ e) y²⁵ : y²⁵ = y⁰= 1f) a¹⁰² : a = a¹⁰¹2) Reduza a uma só potência: a) (-3)⁷ : (-3)² = (-3)⁵ b) (+4)¹⁰ : (+4)³ = (+4)⁷ c) (-5)⁶ : (-5)² = (-5)⁴ d) (+3)⁹ : (+3) = (+3)⁸ e) (-2)⁸ : (-2)⁵ = (-2)³ f) (-3)⁷ : (-3) = (-3)⁶ g) (-9)⁴ : (-9) = (-9)³ h) (-4)² : (-4)² = (-4)⁰ = 13) Calcule os quocientes: a) (-5)⁶ : (-5)⁴ = (R: 25) b) (-3)⁵ : (-3)² = (R: -27 ) c) (-4)⁸ : (-4)⁵= (R: -64) d) (-1)⁹ : (-1)² = (R: -1) e) (-7)⁸ : (-7)⁶= (R: 49) f) (+10)⁶ : (+10)³ = (R: 1000) 3) Potência de Potência: Obeserve: (a²)³ = a²˙³ = a⁶Exemplo: [(-2)³]⁴ = (-2)³˙⁴ = (-2)¹²EXERCÍCIOS1) Aplique a propriedade de potência de potência.a) [(-4)² ]³ = (-4)⁶ b) [(+5)³ ]⁴ = (+5)¹² c) [(-3)³ ]² = (-3)⁶ d) [(-7)³ ]³ = (-7)⁹e) [(+2)⁴ ]⁵ = (+2)²⁰ f) [(-7)⁵ ]³ = (-7)¹⁵ g) [(-1)² ]² = (-1)⁴ h) [(+2)³ ]³ = (+2)⁹ i) [(-5)⁰ ]³ = (-5)⁰ = 12) Calcule o valor de: a) [(+3)³]² = 729 b) [(+5)¹]⁵ = -243 c) [(-1)⁶]² = 1 d) [(-1)³]⁷ = -1e) [(-2)²]³ = 64 f) [(+10)²]² = 10000 4) Potência de um produto. Obeserve: ( a . b )³ = ( a . b ) . (a . b ) . ( a . b ) = ( a . a . a ) . ( b . b . b ) = a³ . b³Exemplos: [(-2) . (+5) ] = (-2)³ . (+5)³EXERCÍCIOS1) Aplique a propriedade de potência de um produto:a) [(-2) . (+3)]⁵ = (-2)⁵ . (+3)⁵b) [(+5) . (-7)]³ = (+5)³. (-7)³ c) [(-7) . (+4)]² = (-7)² . (+4)² d) [(+3) . (+5)]² = (+3)² . (+5)² e) [(-4)² . (+6)]³ = (-4)⁶ . (+6)³ f) [(+5)⁴ . (-2)³]² = (-4)⁸ . (+6)⁶ RAIZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS Vamos recordar:√49 = 7, porque 7² = 49No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser:+7, poque (+7)² = 49.-7, porque (-7)² = 49.Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério:Exemplos:a) +√16 = +4b) - √16 = -4c) √9 = 3d) -√9 = -3Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto ZVeja:a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16EXERCÍCIOS1) Determine as raízes:a) √4 = 2 b) √25 = 5 c) √0 = 0 d) -√25 = -5 e) √81 = 9 f) -√81 = -9 g) √36 = 6 h) -√1 = -1 i) √400 = 20 j) -√121 = -11 k) √169 = 13 l) -√900 = -302) Calcule caso exista em Z: a) √4 = 2 b) √-4 = não existe c) -√4 = -2d) √64 = 8e) √-64 = não existe f) -√64 = -8 g) -√100 = -10 h) √-100 = não existe3) Calcule: a) √25 + √16 = 9 b) √9 - √49 = -4 c) √1 + √0 = 1 d) √100 - √81 + √4 = 3 e) -√36 + √121 + √9 = 8 f) √144 + √169 -√81 = 16 EXEPRESSÕES NÚMERICAS As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:1) Potenciação e radiciação;2) Multiplicação e divisão3) Adição e subtraçãoNessas operações são realizados :1) parênteses ( )2) colchetes [ ]3) chaves { }exemplos:calcular o valor das expressões :1°) exemplo(-3)² - 4 - (-1) + 5²9 – 4 + 1 + 255 + 1 + 256 + 25312°) exemplo15 + (-4) . (+3) -1015 – 12 – 103 – 10-73°) exemplo5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]25 + 3 – [ (-5) +3 ]25 + 3 - [ -2]25 +3 +228 + 230EXERCÍCIOS1) Calcule o valor das expressões:a) 5 + ( -3)² + 1 = 15 b) 10 + (-2)³ -4 = -2 c) 12 – 1 + (-4)² = 27 d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7 e) 18 – (+7) + 3² = 20 f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3 g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14 h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127 i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19 j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -242) Calcule o valor das expressões: a) 3 - 4² + 1 = -12 b) 2³ - 2² - 2 = 2 c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3 d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5 e) (-3)². (+5) + 2 = 47 f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2 g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15 h) √49 + 2³ - 1 = 14 3) Calcule o valor das expressões: a) (-3)² + 5 = 14 b) (-8)² - (-9)² = -17 c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2 e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899 f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84 g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4 h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 24) Calcule o valor das expressões: a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3 b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30 c) 8 + (-3 -1)² = 24 d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16 e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28 f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 545) Calcule o valor das expressões: a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110 b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12 c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23 d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57e) –[ -1 + (-3) . (-2)]² f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5 g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]² i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25 j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8 k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18 l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -46) Calcule o valor das expressões: a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2 b) (+3 – 1)² - 15 = -11 c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9 d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4 f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5 g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8 h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1 i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46 j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15 k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -57) Calcule o valor das expressões: a) 10 + (-3)² = 19 b) (-4)² - 3 = 13 c) 1 + (-2)³ = -7 d) -2 + (-5)² = 23 e) (-2)² + (-3)³ = -23 f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 82 h) 5 + (-2)³ + 6 = 38) Calcule o valor das expressões: a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17 b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16 c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17 d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4 e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16Exercícios em forma de teste:1) O resultado de (-1001)² é:a) 11 011b) -11 011 c) 1 002 001 X d) -1 002 0012) O valor da expressão 2⁰ - 2¹ - 2² é:a) -4b) -5 x c) 8d) 03) O valor da expressão (-10)² - 10² é:a) 0 x b) 40c) -20d) -404) O valor da expressão √16 - √4 éa) 2 x b) 4c) 6d) 125) O valor da expressão 10 + √9 – 1 é:a) 14b) 18c) 12 x d) 206) O valor da expressão (-4)⁴ - (-4) é :a) 20b) -20c) 252d) 260 x 7) O valor da expressão (-2)⁴ + (-9)⁰ - (-3)² é :a) 8 x b) 12c) 16d) -268) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :a) 7b) 37c) 42 x d) 479) A expressão (-7)¹⁰ : (-7)⁵ é igual a:a) (-7)⁵ x b) (-7)²c) (-7)¹⁵d) (-1)²10) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :a) -1 x b) -4c) 1d) 411) O valor da expressão numérica -4² + (3 -5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ éa) 7b) 8c) 15d) -7 x - Expressão Numérica C/ Potencia E Raiz POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais Exemplo 5x5x5, indicada por 5³ ou seja , 5³= 5x5x5=125 onde : 5 é a base (fator que se repete) 3 é o expoente ( o número de vezes... - ExpressÕes NÚmericas Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem : 1°) Potenciação e radiciação 2°) Multiplicações e divisões 3°) Adições e Subtrações EXEMPLOS 1) 5 + 3² x 2 = = 5 + 9 x 2 = = 5 + 18 = = 23 2)...- ExpressÕes NumÉricas EXPRESSÕES NUMÉRICAS Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem : 1°) Potenciação e radiciação 2°) Multiplicações e divisões 3°) Adições e Subtrações EXEMPLOS 1) 5 + 3² x 2 = = 5 + 9...- Conjunto Dos NÚmeros Racionais Relativos Chama-se número racional todo o número que pode ser escrito em forma de fração, São exemplos de números racionais; “ Os números fracionários positivos; + 5/7, +1/3, +7/2, +9/4 “Os números fracionários negativos; -5/7, -1/3, -7/2, -9/4 É...- PotenciaÇÃo E RadiciaÇÃo Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais Exemplo 5x5x5, indicada por 5³ ou seja , 5³= 5x5x5=125 onde : 5 é a base (fator que se repete) 3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base) 125 é a potência ( resultado...Matemática |
Como calcular a potencias entre paretes e raiz quadrada
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