- Barisan Aritmetika
- POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN
- BILANGAN
02:34
Suku berikutnya dari barisan bilangan: 1, 3, 7, 15, 31, 6...
Suku berikutnya dari barisan bilangan: 1, 3, 7, 15, 31, 6...
Embed Size (px) 344 x 292429 x 357514 x 422599 x 487
C. Aplikasi Barisan dan Deret
Kelas X, Semester 2
BARISAN DAN DERET
Materi W6c
www.yudarwi.com
C. Aplikasi Barisan dan
Deret
Langkah-langkah penyelesaian masalah
(1) Menetapkan variabel- variabel yang
diperlukan
(2) Menentukan pola hubungan antar variabel
kedalam rumus barisan dan deret
(3) Melakukan perhitungan matematis untuk
mendapatkan hasil akhir
Amir mempunyai hutang Rp. 600.000 yang
pembayarannya diangsur setiap bulan sebesar
Rp. 40.000. Selama berapa bulankah ia harus
mengangsur hingga hutangnya lunas ?
A. 13 bulan B. 14 bulan
Nomor W3601
C. 15 bulan D. 16 bulan
E. 17 bulan
Sebuah kendaraan bermotor akan diuji ketahanan
mesinnya dengan cara dikendarai melewati
berbagai kota selama delapan hari berturut-turut.
Pada hari pertama, kendaraan tersebut berhasil
menempuh jarak 15 km, pada hari kedua 25 km,
hari ketiga 35 km dan seterusnya membentuk pola
aritmatika. Berapakah total jarak yang berhasil
ditempuh kendaraan tersebut selama 8 hari ?
A. 360 km B. 400 km C. 440 km
Nomor W7902
D. 480 km E. 520 km
Pada zaman dahulu hiduplah seorang kakek
dengan 9 orang anaknya. Jika anak tertua
berumur 37 tahun dan umur kesembilan anak
tersebut berselisih 3 tahun, maka berapakah
umur anak yang tengah ?
A. 25 tahun B. 26 tahun
Nomor W5403
C. 27 tahun D. 28 tahun
E. 30 tahun
Nomor W9404
Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap
awal bulan sebesar Rp. 200.000,-. Jika pada
pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai
uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka
berapakah banyaknya uang Andi pada
pertengahan bulan Desember 2012 ?
A. Rp. 2.640.000 B. Rp. 2.680.000
C. Rp. 2.720.000 D. Rp. 2.760.000
E. Rp. 2.800.000
Soal Latihan W6c
Aplikasi Barisan dan Deret
Aritmatika
Soal 01W514
Jumlah bilangan bulat antara 10 dan 60 yang habis
dibagi 3 adalah
A. 552 B. 486 C. 462
D. 312 E. 396
Soal 02W693
Jumlah bilangan bulat dari 5 sampai 25 yang tidak
habis dibagi 4 adalah
A. 176 B. 182 C. 198
D. 216 E. 235
Soal 03W533
Jumlah bilangan bulat antara 5 dan 50 yang habis
dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah
A. 272 B. 285 C. 332
D. 341 E. 384
Soal 04W618
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika.
Jika jumlah ketiga bilangan itu 15 dan hasil kalinya
80, maka bilangan yang terkecil adalah
A. 2 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
Soal 05W598
Seorang pegawai sebuah toko mendapat gaji
permulaan sebesar Rp. 100.000,- perbulan. Jika
setiap bulan ia mendapat kenaikan gaji Rp. 5000,-
maka gaji yang ia terima tepat pada awal tahun
kedua sebesar
A. Rp.140.000 B. Rp.145.000
C. Rp.150.000 D. Rp.155.000
E. Rp. 160.000
Soal 06W532
Bila hutang sebesar $ 880 diangsur berturut-turut
tiap bulan $. 25, $. 27, $. 29 dan seterusnya
sampai lunas. Maka lamanya angsuran itu ..
A. 16 bulan B. 20 bulan
C. 34 bulan D. 44 bulan
E. 48 bulan
Soal 07W612
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan
barisan aritmatika. Jika sisi siku-siku pendeknya
6 cm, maka sisi siku-siku panjangnya adalah
A. 8 cm B. 10 cm
C. 12 cm D. 14 cm
E. 15 cm
Page 2
2 BARISAN BILANGAN REAL
Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusunmenurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanyabarisan dan deret merupakan satu kesatuan pokok bahasan. Sekarang barisan dipahamidari sudut pandang analisis sebagai bentuk khusus dari fungsi. Sedangkan deret akandibahas secara khusus pada bab yang lain.
2.1 Pengertian barisan dan limitnya
Denisi 2.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domainhimpunan bilangan asli N. Jadi barisan adalah fungsi X : N R, dimana setiap n Nnilai fungsi X(n) biasa ditulis sebagai
X(n) := xn
dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan dalam buku iniadalah
X, (xn), (xn : n N).
Contoh 2.1. Beberapa barisan dan cara penulisannya:
a. X := (2, 4, 6, 8, ) merupakan barisan bilangan genap. Dapat juga ditulis sebagaiX := (2n : n N).
b. Y :=(11, 12, 13,
). Dapat juga ditulis Y :=
(1n: n N
).
c. Dalam beberapa keperluan praktis, barisan didenisikan secara rekusif atau in-duktif sebagai berikut {
x1, x2, , xn1 diberikan,xn := f(x1, x2, , xn1).
Barisan Fibonacci adalah barisan yang berbentuk F := (1, 1, 2, 3, 5, 8, ). Barisanini dapat ditulis secara rekursif sebagai berikut :
x1 := 1, x2 := 1, xn := xn1 + xn2, untuk n 3.
Exercise 1. Berikut diberikan beberapa suku awal barisan (xn). Seandainya pola sepertiini tetap, tentukan formula umum suku ke n nya.
1
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
a. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ,b. 1/2,1/4, 1/8,1/16, ,c. 1, 4, 9, 16, ,
Exercise 2. Diberikan barisan yang didenisikan secara rekursif berikut. Tentukan 5suku pertamanya
a. y1 := 2, yn+1 :=12(yn + 2/yn), n 1.
b. z1 := 1, z2 := 2, zn+2 := (zn+1 + zn)/(zn+1 zn), n 3.c. x1 := 1, yn+1 :=
14(2yn + 3), n 1.
Penulisan barisan menggunakan kurung biasa ( ) dimaksudkan untuk membedakan-nya dengan himpunan biasa yang ditulis menggunakan kurung kurawal { }. Padahimpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada barisan, suku-suku yang berbeda ada kemungkinan bernilai yang sama, dan semuanya harus ditulis.Sebagai contoh ambil barisan (xn) yang didenisikan xn := (1)n. Jadi barisannyaadalah
X := (1, 1,1, 1, ).Tetapi bila suku-suku ini dipandang sebagai anggota himpunan maka ditulis
X := {1, 1}.
Denisi 2.2. Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limitdari (xn) jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan asli N (umumnya bergantung pada) sehingga berlaku
|xn x| < untuk setiap n N.
Jika x limit dari barisan X maka X dikatakan konvergen ke x dan ditulis
limX = x, atau lim(xn) = x.
Jika suatu barisan mempunyai limit kita katakan barisan itu konvergen. Sebaliknyajika tidak mempunyai limit kita katakan ia divergen.
Diperhatikan pada denisi ini pernyataan |xnx| < dapat ditulis sebagai x < xn 0, sedangkan kriteria n dicirikan oleh adanya bilangan asli N . Tidak adanyanotasi n pada penulisan lim(xn) dapat dipahami karena barisan yang dibahasadalah barisan takberujung, yaitu banyak sukunya takterhingga.
Muncul pertanyaan apakah mungkin suatu barisan konvergen ke dua limit yang berbeda?Jawaban diberikan secara formal dalam teorema berikut.
2
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Gambar 2.1: Ilustrasi barisan konvergen
Teorema 2.1. Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit. Dengankata lain, jika suatu barisan konvergen maka limitnya tunggal.
Bukti. Andaikan barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xadan xb dengan xa 6= xb. Diberikan := 13 |xb xa|. Karena lim(xn) = xa makauntuk ini terdapat Na sehingga
|xn xa| < untuk setiap n Na.
Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Nb sehingga
|xn xb| < untuk setiap n Nb.
Sekarang untuk n maks {Na, Nb} maka berlaku
|xa xb| = |xa xn + xn xb| |xn xa|+ |xn xb|< +
=2
3|xa xb|.
Akhirnya diperoleh |xaxb| < 23 |xaxb| suatu pernyataan yang kontradiksi.Pengandaianxa 6= xb salah dan haruslah xa = xb, yaitu limitnya mesti tunggal.
Exercise 3. Diberikan barisan bilangan real (xn).
a. Tuliskan denisi barisan (xn) tidak konvergen ke x.
b. Tuliskan denisi barisan (xn) divergen.
Pembahasan barisan di sini ditekankan pada pemahaman teoritis bukan pada aspekteknis seperti menghitung nilai limit barisan. Pekerjaan dominan adalah membuktikansuatu barisan dengan limit telah diketahui, bukan menghitung berapa nilai limit suatubarisan. Contoh-contoh berikut memberikan gambaran bagaimana denisi digunakanuntuk membuktikan kebenaran limit suatu barisan.
3
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Contoh 2.2. Buktikan bahwa lim(1/n) = 0.
Bukti. Secara intuitif fakta ini adalah benar karena kita membagi bilangan 1 denganbilangan yang semakin membesar menuju takhingga sehingga hasilnya mesti nol.Tapi bukti ini tidak formal karena tidak didasarkan pada teori yang ada, misalnyadenisi. Berikut bukti formalnya. Disini kita mempunyai xn :=
1n, dan x = 0.
Diberikan > 0 sebarang. Harus ditemukan bilangan asli N sehingga
|xn x| = |1/n 0| =1
n< untuk setiap n N.
Mudah saja, pada bentuk terakhir ketidaksamaan ini berlaku 1n< . Diselesaikan,
diperoleh n > 1. Jadi N cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih
besar dari 1, atau ceiling dari x yaitu
N = d1/e .
Sebagai contoh, misalkan diberikan := 0.013 maka 1= 76.9231. Jadi cukup
diambil N := 77. Untuk meyakinkan dapat diperiksa bahwa
x77 = 0.0130, x78 = 0.0128, x79 = 0.0127, x80 = 0.0125, x81 = 0.0123, x82 = 0.0122
kesemuanya kurang dari 0.013. Lebih telitinya x77 = 0.012987. Terbukti bahwalim( 1
n) = 0.
Contoh 2.3. Buktikan lim(
n+13n+2
)= 1/3.
Penyelesaian. Di sini kita mempunyai xn :=(
n+13n+2
)dan x = 1/3.
|xn x| = n+ 13n+ 2 13
=
3n+ 3 3n 23(3n+ 2)
=1
3(3n+ 2)
Bentuk terakhir ini akan kurang dari bila
(9n+ 6) > 1, yaitu n >1 69
.
Jadi N cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih besar dari 69, yaitu
bila cukup kecil sehingga 69
tidak negatif diambil
N =
1 69
.
Sebagai contoh, misalkan diberikan := 0.013 maka 169
= 7.8803. Jadi cukupdiambil N := 8. Agar lebih meyakinkan dihitung beberapa nilai |xn 1/3|, untukn = 8, 9, 10, 11, 12, hasilnya
0.0128, 0.0115, 0.0104, 0.0095, 0.0088,
yang kesemuanya kurang dari := 0.013. Terbukti bahwa lim(
n+13n+2
)= 1/3.
4
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Exercise 4. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan
lim
(3n+ 1
2n+ 5
)=
3
2.
Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 0.0023, juga := 0.0132. Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Exercise 5. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan
lim
((1)nnn2 + 1
)= 0.
Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 1/4, juga := 1/16.Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Exercise 6. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan
lim
(1
n 1n+ 1
)= 0.
Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 1/4, juga bila := 1/16. Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Dari beberapa contoh dan latihan ini mestinya dapat disimpulkan bahwa semakin kecil > 0 yang diberikan maka semakin besar indeks N yang dapat diambil. Kenyataan inisesuai dengan denisi bahwa semakin kecil > 0 maka semakin kecil lebar "kerangkeng"dan semakin lama pula suku-suku barisan mulai mengumpul di dalam "kerangkeng" ini.
Kekonvergenan barisan (xn) ditentukan oleh pola suku-suku yang sudah jauh berada diujung, bukan oleh suku-suku awal. Walaupun pada awalnya suku-suku barisan beruk-tuasi cukup besar namun bila pada akhirnya suku-suku ini mengumpul di sekitar titiktertentu maka barisan ini tetap konvergen. Fakta ini diformal dalam istilah ekor barisan.
Denisi 2.3. Misalkan barisan X := (x1, x2, x3, , xn, ) dipotong pada suku ke mdan dibentuk barisan baru
Xm := (xm+1, xm+2, )
maka barisan Xm disebut ekor ke m barisan X.
Jadi ekor barisan merupakan barisan yang dibentuk dengan memotong m buah sukupertama pada barisan semula. Ternyata sifat kekonvergenan ekor barisan dan barisansemula adalah identik, seperti diungkapkan pada teorema berikut.
Teorema 2.2. Barisan X konvergen bila hanya bila ekor barisan Xm juga konvergen,dan berlaku
limX = limXm.
5
Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI
Bukti. () Diberikan > 0. Karena X = (xn : n = 1, 2, ) konvergen, katakanlim(xn) = x maka terdapat bilangan asli N sehingga
|xn x| < untuk setiap n = N,N + 1, N + 2,
Misalkan ekor barisan Xm = {xm+n : n = 1, 2, 3, }. Karena jika n N beraki-bat m+ n N maka untuk N ini berlaku
|xm+n x| < untuk setiap n = N,N + 1, N + 2,
Ini menunjukkan bahwa limXm = x.()Diketahui Xm konvergen, yaitu limXm = x maka untuk > 0 sebarang ter-dapat bilangan asli N sehingga
|xm+n x| < untuk setiap m+ n = N,N + 1, N + 2,
Dengan mengambil N1 = N m maka berlaku
|xn x| < untuk setiap n = N1, N1 + 1, N1 + 2,
Karena itu berdasarkan denisi disimpulkan limX = x.
Pembuktikan limit barisan langsung dari denisi akan menjadi sulit bilamana bentukbarisan yang dihadapi cukup rumit. Melalui denisi dikembangkan "alat-alat" seder-hana yang dapat digunakan untuk membuktik