How many ways a picture can be hung from 6 picture nails on a wall?

The number of ways in which $$6$$ pictures can be hung from $$8$$ picture nails on the wall is 

• A

  $$6^8$$

• B

  $$20160$$

• C

  $$8^6$$

• D

  None of these

Number of Pictures $$=6$$

Number of ways it can be hung $$=^{ 8 }{ P }_{ 6 }$$

$$=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\\ =5040\times 4\\ =20160$$

Therefore number of ways $$=20160$$

In how many ways can 6 pictures be hung from 4 picture nails on a wall?

Question:

In how many ways can 6 pictures be hung from 4 picture nails on a wall?

Solution:

To find: number of ways of hanging 6 pictures on 4 picture nails.

There are 6 pictures to be placed in 4 places.

Formula:

Number of permutations of $n$ distinct objects among $r$ different places, where repetition is not allowed, is

$P(n, r)=n ! /(n-r) !$

Therefore, a permutation of 6 different objects in 4 places is

$P(6,4)=\frac{\frac{6 !}{(6-4) !}}{2 !}=\frac{6 !}{2 !}=\frac{720}{2}=360$

This can be done by 360 ways

For StudentsFor ParentsFor SchoolsSuccess StoriesOutcomesAI

1. ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ:

(i) ਪਹਿਲੀਆਂ n ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ "n ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ n ਜਾਂ n!. ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(ii) n!=1×2×3×4×...×(n-1)×n

(iii) ਉਚਿੱਤ ਭਿੰਨਾਂ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।

(iv) 0!=1

(v) (2n)!n!=1⋅3⋅5....2n-12n

2. ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਮੂਲ ਸਿਧਾਂਤ:

ਜੇਕਰ ਦੋ ਕੰਮ ਅਜਿਹੇ ਹਨ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ m ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ, ਦੂਸਰਾ ਕੰਮ n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੋ ਕੰਮ m×n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪੂਰੇ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

3. ਜੋੜ ਦਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਿਧਾਂਤ:

ਜੇਕਰ ਦੋ ਕੰਮ ਅਜਿਹੇ ਹਨ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ m ਅਤੇ n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋਵਾਂ ਕੰਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਵੀ m+ nਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

4. ਕ੍ਰਮ-ਸੰਚਨ /ਤਰਤੀਬ-ਬੱਧ:

(i) ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ r ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ 0≤r≤n, ਤਾਂ  nPr=n!(n-r)!

(ii) n ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ=Prn.

(iii) n ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ=Pnn=n!.

(iv) n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ ਜੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ p ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ=n!p!.

(v) n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ p ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਦੂਜੀ ਕਿਸਮ q ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ=n!p!  q!.

(vi) n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ ਜਿਵੇਂ ਕਿ  p ਵਸਤੂਆਂ ਕਦੇ ਵੀ ਇਕੱਠੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ=n!-n-p+1!.

(vii) n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ ਜਿਵੇਂ ਕਿ p ਵਸਤੂਆਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ=n-p+1!.

(viii) ਗੈਪ ਵਿਧੀ:

ਲੜਕੇ-ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਤਰਤੀਬ ਇਸ ਤਰਾਂ ਕਰਨਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਲੜਕੇ ਇਕੱਠੇ ਨਾ ਹੋਣ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕੁੜੀਆਂ ਨੂੰ ਤਰਤੀਬ-ਬੱਧ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੁੰਡਿਆਂ ਨੂੰ ਵਿੱਥਾਂ ਵਿੱਚ ਤਰਤੀਬ-ਬੱਧ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(ix) ਜਦੋਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ=nr

(x) ਜਦੋਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ n ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਚਣ=nn

5. ਸੰਯੋਜ਼ਨ/ਚੋਣਾਂ:

(i) ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ r ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ 0≤r≤n, ਤਾਂ  nCr=n!(n-r)!r!.

(ii) ਵੱਖ-ਵੱਖ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ=Crn

(iii) ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿਸ ਵਿੱਚ p ਵਸਤੂਆਂ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ=Cr-pn-p.

(iv) ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿਸ ਵਿੱਚ p ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕਦੇ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ =Crn-p

(v) ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਚੋਣ=2n-1.

(vi) n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿਸ ਵਿੱਚ m ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ, n ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ p  ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ =m+1n+12p-1

6.  Crn ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ:

(i) Crn=Cn-rn

(ii) ਜੇਕਰ, Cxn=Cyn, ਤਾਂ  x=y ਜਾਂ x+y=n

(iii) Crn+Cr-1n=Crn+1

(iv) CrnCr-1n=n-r+1r

7.  Crn ਅਤੇ Prn ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ:

 Prn=Crn·r!

This video describes the fundamental principle of addition in a very simple and understandable manner. So don't wait to check out this video.

A permutation is an arrangement of objects in a definite order. Watch this video to understand the concept of the arrangement of words in the form of a dicti...

Have you wondered what the product of natural numbers from 1, 2, 3, up to n is? Do you know how it is denoted? Let's take a look at this video to find out.

Getting confused between permutations and combinations? Don't worry! Listen to this catchy song that explains the two concepts in the easiest way.

In this video, we will derive the equation of permutations of non-distinct objects, and how those can be used in real-life situations. Let’s watch the video...

For ages, this dreadful question has bugged all of humanity: why is zero factorial one? Do you know the reason behind it? Watch this video to learn the corre...