Ekspresi dua suku (dua variabel atau satu variabel dan satu bilangan) seperti $(x+y)$, $(a-2x)$, atau $(3x-10)$ disebut binomial. Bentuk $\displaystyle \binom{n}{k}$ (baca: $n$ pilih $k$, dalam bahasa Inggris, $n$ choose $k$) disebut koefisien binomial karena koefisien-koefisien tersebut memenuhi teorema binomial berikut ini. Teorema binomial ini seharusnya sudah dipakai oleh siswa SMA ketika membahas materi yang berkenaan dengan aljabar. Show
Teorema BinomialMisalkan $x$ dan $y$ adalah variabel serta $n$ merupakan suatu bilangan bulat nonnegatif.
Kita akan menggunakan pembuktian kombinatorial. Jika dijabarkan, suku-suku hasil perkaliannya berbentuk $x^{n-j}y^j$ untuk $j = 0, 1, 2, \cdots, n.$ Untuk menghitung banyaknya suku berbentuk $x^{n-j}y^j$, perhatikan bahwa kita perlu memilih $(n-j)$ variabel $x$ dari penjumlahan $n$ suku tersebut sehingga kita juga secara otomatis memilih $j$ variabel $y.$ Oleh karena itu, koefisien dari $x^{n-j}y^{j}$ adalah $\displaystyle \binom{n}{n-j}$ yang senilai dengan $\displaystyle \binom{n}{j}.$ Dengan demikian, teorema binomial tersebut terbukti benar. $\blacksquare$ Ketika kita mengambil $n = 2, 3, 4$, kita memperoleh rumus binomial yang sangat sering dimunculkan di sekolah menengah, yaitu Beberapa poin penting yang perlu diketahui dari submateri kombinatorika ini adalah sebagai berikut.
Penjelasan singkat di atas merupakan ringkasan penting mengenai teorema binomial. Pembaca sebelumnya diharapkan sudah memahami teori yang lebih rinci di buku teks. Pada pos ini, kita akan membahas beberapa soal terkait teorema binomial. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 160 KB). Poem by Shane Dizzy SukardyBegitulah takdir persahabatan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1Misalkan $S = (x-1)^4 + 4(x-1)^3$ $+ 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1.$ Jika disederhanakan, maka $S = \cdots \cdot$
Berdasarkan teorema binomial, diketahui bahwa $(a+b)^4$ dapat dijabarkan menjadi $a^4+4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.$ Soal Nomor 2Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka suku keenam setelah $\left(2x^{1/2}-\dfrac14x^{1/4}\right)^9$ diekspansi adalah $\cdots \cdot$
Suku keenam dari hasil ekspansi binomial tersebut dinyatakan oleh Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial Soal Nomor 3Banyaknya suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi $(3x^2-2y^3)^8$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa suku $3x^2$ akan selalu berpangkat genap pada variabel $x$ bila dipangkatkan bilangan bulat dari $0$ sampai $8$. Ini menunjukkan bahwa tidak ada satu pun kombinasi perkalian dua suku yang menghasilkan ekspresi $x^7$ karena pangkatnya ganjil. Soal Nomor 4Koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ dari ekspansi $(x+2x^3)^{10}$ adalah $\cdots \cdot$
Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk $x^{14}$ adalah $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ dengan $\color{red}{p + q = 10}$. Persamaan eksponen $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ mengimplikasikan bahwa $\color{red}{p + 3q = 14}.$ Soal Nomor 5Koefisien suku yang mengandung $x^{4}$ dari ekspansi $\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{x^2}{4}\right)^{14}$ adalah $\cdots \cdot$
Ekspresi $x^4$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ dan $x^2$. Soal Nomor 6Konstanta dari hasil penjabaran $\left(3x^3-\dfrac{2}{x}\right)^8$ adalah $\cdots \cdot$
Mencari konstanta sama artinya dengan mencari koefisien dari $x^0.$ Soal Nomor 7Koefisien $a^2b^3c^6$ dalam ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah $\cdots \cdot$
Diberikan trinomial $(a+b+c)^{11}$. Soal Nomor 8Koefisien suku $x^{23}$ dari ekspansi $\left(1+\dfrac{1}{99}x^5+\dfrac{1}{10}x^9\right)^{100}$ adalah $\cdots \cdot$
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^{23}$ adalah Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pembuktian Kombinatorial Soal Nomor 9Nilai dari $C_0^{2.020} + C_1^{2.020} + C_2^{2.020} +$ $\cdots + C_{2.020}^{2.020}$ adalah $\cdots \cdot$
Berdasarkan teorema binomial, kita tahu bahwa Soal Nomor 10Jika $A$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d)^6$ dan $B$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d+e)^7$, maka selisih $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_u)^n$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya. Soal Nomor 11Diketahui suku kedua dan suku ketiga dari penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ nilainya sama. Nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
Pada penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ dengan $n > 0$, diperoleh Soal Nomor 12Jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ adalah $\cdots \cdot$
Substitusi $x = y = 1$ pada penjumlahan dua binomial $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya. Soal Nomor 13Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^{2.007} \binom{2.008}{k}2.008^k$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa dengan menggunakan teorema binomial, kita peroleh Bagian Uraian Soal Nomor 1Ekspansikan (jabarkan) ekspresi aljabar berikut.
Gunakan teorema binomial. Soal Nomor 2Hitunglah:
Jawaban a) Soal Nomor 3Pada penjabaran $(2x-y)^{11}$, tentukan:
Jawaban a) Soal Nomor 4Diketahui binomial $(5+2x)^n$ dengan $n$ merupakan bilangan asli. Tentukan nilai $n$ agar koefisien $x^2$ sama dengan dua kali koefisien $x$.
Diketahui binomial $(5+2x)^n.$ Soal Nomor 5Jika $n>0$ merupakan koefisien $x$ pada bentuk binomial $(nx-y)^6$ dan diketahui bahwa rasio koefisien suku ketiga dan kelima setelah binomialnya dijabarkan adalah $4 : 1$, maka tentukan nilai $n$.
Diketahui binomial $(nx-y)^6$. Soal Nomor 6Tunjukkan bahwa rasio koefisien $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ dan koefisien $x^0$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah $1 : 32.$
Suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah $C_q^{10} (1)^p(-x^2)^q = kx^{10}$ dengan $p + q = 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2q = 10$ sehingga $q = 5$, dan akibatnya $p = 5.$ Soal Nomor 7Carilah koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$.
Kita akan mencari koefisien $x^4$ dan $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7.$ Baca Juga: Masalah Kombinatorika: Mencari Banyak Rute Soal Nomor 8Tentukan hubungan $a$ dan $b$ agar koefisien $x^7$ dari penjabaran $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ sama dengan koefisien $x^{-7}$ dari penjabaran $\left(ax-\dfrac{1}{bx^2}\right)^{11}.$
Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^7$ adalah Soal Nomor 9Jika tiga suku pertama penjabaran $(1+ax)^n$ adalah $1+16x+112x^2$, maka tentukan nilai $a$ dan $n$.
Berdasarkan teorema binomial, tiga suku pertama hasil ekspansi (penjabaran) dari $(1+ax)^n$ dinyatakan sebagai berikut. Soal Nomor 10Uraikan dengan menggunakan perluasan teorema binomial.
Jawaban a) Soal Nomor 11Carilah nilai pendekatan dari $\sqrt[4]{15}.$
Misal $\sqrt[4]{15} = (16-1)^{\frac14}.$ Soal Nomor 12Jika $(x+1)^n$ dijabarkan (pangkat $x$ semakin menurun) dengan $n$ bilangan bulat positif, maka diperoleh ada tiga suku berurutan yang memiliki perbandingan koefisien $2 : 15 : 70.$ Tentukan nilai $n$.
Dengan menggunakan teorema binomial, kita tahu bahwa Soal Nomor 13Untuk bilangan cacah $k$, dengan $0 \leq k \leq 14$, didefinisikan $a_k$ adalah koefisien dari suku $x^k$ pada polinomial $x^2(x+1)^3(x+2)^4(x+3)^5.$ Tentukan nilai dari $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{14}.$
Ingat bahwa jumlah semua koefisien dari penjabaran $(ax+by)^n$ adalah $(a+b)^n$, yakni ketika $x = y = 1.$ $\begin{aligned} & 1^2(1+1)^3(1+2)^4(1+3)^5 \\ & = 1(2^3)(3^4)(4^5) \\ & = 2^{13} \cdot 3^4. \end{aligned}$ Bilangan ini mewakili jumlah semua koefisien dari setiap suku hasil penjabaran $P(x)$. Jika kita substitusi $x = -1$ pada $P(x),$ kita peroleh $$(-1)^2(-1+1)^3(-1+2)^4(-1+3)^5 = 0.$$Bilangan ini mewakili jumlah koefisien suku genap dikurang jumlah koefisien suku ganjil pada penjabaran $P(x).$ Karena bernilai $0$, maka itu artinya jumlah koefisien pada suku genap maupun ganjil adalah sama sehingga $$\boxed{a_2+a_4+\cdots+a_{14} = \dfrac{2^{13} \cdot 3^4}{2} = 2^{12} \cdot 3^4}$$ Soal Nomor 14Tentukan banyak suku-suku berbeda pada penjabaran:
Jawaban a) Soal Nomor 15Carilah koefisien:
Jawaban a) |