A raiz quadrada é um símbolo que surgiu pelo século XVI. Hoje, no contexto que aprendemos ela é calculada de forma mecânica, mas será que ela não tem algum significa mais concreto? Show A expressão do símbolo da raiz quadrada nem sempre foi este que conhecemos, ele se modificou durante os anos. Antigamente, tudo o tipo de número era relacionado com a geometria, sobre a raiz quadrada não é diferente. Mas quem criou este símbolo? Este símbolo foi encontrado em algumas obras árabes e trazido para a Europa pelo matemático Fibonacci. Hoje dizemos, a raiz quadrada de 9 é 3, antigamente era assim: radix quadratum 9 aequalis 3. Esta escrita é em latim e quer dizer: lado do quadrado 9 é igual 3. E o símbolo do radical, será que ele já existia nesta época? Bom, este símbolo não existia e houve uma evolução que mostrarei abaixo: O que achou? Interessante? Muito legal esta parte da história, vamos contar mais um pouquinho, tente reescrever a raiz quadrada como o inverso da potenciação, ou seja, 3² = 9. Como se escreve em latim? Vamos lá, 3 elevado ao quadrado é igual a 9, ou seja, quadractus radix 3 aequalis 9. Outro desafio, e o teorema de Pitágoras? Abaixo tem uma imagem para ajudar: (Observação: et em latim significa mais) Vamos ver se você acertou: Quadractus radix 3 et quadractus radix 4 aequalis quadractus radix 5.
Gostou dessa história? Existem outras histórias muito legais que irei colocando neste site e ao longo do tempo espero que perceba que a matemática pode ser muito divertida e ter significado para você, se você me der uma chance tenho certeza que você vai pelo menos deixar de odiar ela. Referência: Disponível em: < http://blogcoisasdenerd.blogspot.com.br/2010/07/origem-da-raiz-quadrada.html>. Acessado em: 24 de maio 2012.
Claro, que a maioria deve saber que extrair a Raiz Quadrada de um número. É encontrar um número, que multiplicado por si próprio, seja o valor que está na raiz. Essa é maneira que aprendemos nas escolas. Mas pense bem, o que a palavra "RAIZ" tem a ver com isso? Porque, em nossa língua a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número. Para isso, temos que voltar um pouco na história da matemática, para entender como surgiu a raiz quadrada de um número. Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco ou livro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, traz da seguinte maneira, o que hoje chamamos de raiz quadrada: "radix quadratum 16 aequalis 4", Fibonacci, trouxe essa importante informação para a Europa, graças aos estudos de obras árabes que tinha conhecido quando estava trabalhando com o seu pai no norte da Africa, como comerciante. Agora, a origem do símbolo √ está associado ao abreviamento da palavra radix, que com o passar do tempo, foram se fazendo cópias em cima de cópias, o que acabou resultando no símbolo que usamos hoje em dia, um alongamento ou variância da letra r. Estive pensando: “Sou professor de Matemática e ainda não fiz uma postagem ligada a isso”. Pois bem, chegou a hora. Alguns tópicos da matemática foram se tornando mais complicados do que realmente são. Com o passar do tempo, desenvolvimento das linguagens e até mesmo a preguiça de alguns autores ao escrever, transformaram nomes simples, em nomes um tanto quando abstratos. Um bom exemplo disto é a Raiz Quadrada. Claro, que a maioria deve saber que extrair a Raiz Quadrada de um número, é achar um outro número que multiplicado por ele mesmo seja o nosso primeiro número em questão. Mas, pense bem, o que que a RAIZ tem a ver com isso?? Em nossa língua pelo menos a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número. Vamos tenta entender isto e também um pouco da origem do símbolo . Se uma criança que acabou de aprender a falar ou um estrageiro que aprendeu a nossa língua a pouco tempo, ouvir a frase: “Raiz Quadrada”, por certo, e também pelo lógico, pensaria em uma planta ou árvore, que tenha sua raiz de forma quadrada. Algo talvez assim: Não seria errado pensar assim, pois o nome diz exatamente isso. Porém, quem foi o “gênio” então que chamo o que conhecemos hoje como raiz quadrada de “Raiz Quadrada”. A frase “A Raiz Quadrada de 16 é igual a 4”, vem do latim, que no original seria: “radix quadratum 16 aequalis 4.” Traduzindo cada palavra temos: aequalis –> igual E a palavra Radix nada tem a ver com Raiz, a tradução correta de Radix seria Lado. Então a tradução correta da frase seria: radix quadratum 16 aequalis 4. –> O Lado do quadrado 16 é 4. Ou seja, por preguiça, descuido ou sei lá o que, com o passar do tempo a palavra Radix acabou virando Raiz. Por isso chamamos até hoje de Raiz Quadrada. A única coisa que soa um pouco estranho agora é “Quadrado 16”. Que budega é essa? Sabendo que o quadrado é uma figura geométrica com 4 lados iguais, calculamos sua área multiplicando o seu lado pelo próprio uma vez ou seja: lado x lado = Área do quadrado Agora tem mais sentido a frase: radix quadratum 16 aequalis 4. –> O Lado do quadrado de área 16 é 4. (melhor traduzido). A Origem do Símbolo No começo quando queriam escrever por exemplo: Se escrevia da seguinte forma: radix 16 = 4 A partir dai, a escrita foi evoluindo: Como vimos, o símbolo que conhecemos hoje, deriva da letra “r” da palavra radix, que nada tem a ver com o raiz. Pois é , essa palavrinha gerou tudo. Para saber mais um pouco sobre isso acessem esta página, do professor Aguinaldo Pradini Ricieri, ele arrebenta. E vejam este vídeo onde ele explica isso e outras coisas interessantes. *se não tiverem paciência para ouvir a entrevista, avance até o minuto 2:52 e veja a Palestra que é muito boa. Espero que gostem desta curiosidade. Dúvidas ou outras coisas é só comentar! Esta página cita fontes, mas estas não cobrem todo o conteúdo.Janeiro de 2011) Em matemática, a raiz quadrada de
x
{\displaystyle x}
Embora
(
−
3
)
2
=
9
{\displaystyle (-3)^{2}=9}
A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos. O primeiro uso do atual símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (do latim, raiz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raiz quadrada do inicial.[2] As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:
A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; x {\displaystyle {\sqrt {x}}} é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois). Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado. Admita-se que x e a são reais, e que x 2 = a {\displaystyle x^{2}=a} , e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} . Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x2 não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} ou, de outra forma, que x = ± a {\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}} Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade: x − y = x − y x + y {\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}} O mesmo é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero. A função f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} tem o seguinte gráfico: A função, cujo domínio é o conjunto dos números reais não negativos é contínua, monótona e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por f ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial: x + 1 = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 2 ) ! n ! ( n − 1 ) ! 2 2 n − 1 x n = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + … {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots } para | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . As dificuldades de computar raízes quadradas usando-se números romanos e a notação romana para frações levou Vitrúvio a a declarar que extrair a raiz quadrada de 200 não pode ser feito por números [3]. CalculadorasAs calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas, tais como o método de Newton (frequentemente com uma estimativa inicial igual a 1), para computar a raiz quadrada de um número real positivo.[4][5] Ao computar raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo, pode-se explorar a identidade a = e ( ln a ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}} Calculando a raiz quadrada manualmente: Por exemplo, calcularemos a raiz quadrada de 2. √2|1,41... -1 |2 4|28 1 100| 4| 1 -96 | 400 -281 Seguindo estes passos irás conseguir sem um professor:
Método babilônicoUm algoritmo frequentemente usado para aproximar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} é conhecido como "método babilônico" (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada,[6] e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação x 2 − n = 0 {\displaystyle x^{2}-n=0} Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:
Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão: Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.
Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596... Ou seja, esse é um bom método para se achar aproximadamente uma raiz quadrada. Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longaEste método, apesar de muito mais lento que o método Babilônico, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raiz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito. Escreva o número em decimal e divida-o em pares de dígitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raiz quadrada final aparecerá acima do número original. Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756? ____1__2._3__4_ | 01 52.27 56 1 x 01 1*1=1 1 ____ __ 00 52 22 2x 00 44 22*2=44 2 _______ ___ 08 27 243 24x 07 29 243*3=729 3 _______ ____ 98 56 2464 246x 98 56 2464*4=9856 4 _______ 00 00 O algoritmo termina: a resposta é 12,34Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100. que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados. Equação de PellA equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência: 1. 19 – 1 = 18 2. 18 – 3 = 15 3. 15 – 5 = 10 4. 10 – 7 = 3Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4 Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa: n = 0 i = 1 while (m >= i){ m = m – i; i = i + 2; n = n + 1; }Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero. Encontrando raízes quadradas usando aritmética mentalA Equação de Pell é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares. Ex: Para obter 27 {\displaystyle {\sqrt {27}}} nós começamos com a seguinte sequência:
5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5. Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1 2 × 100 = 200 {\displaystyle 2\times 100=200} e 5 × 20 + 1 = 101 {\displaystyle 5\times 20+1=101}
O próximo número é 1. Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1 99 × 100 = 9900 {\displaystyle 99\times 100=9900} e 51 × 20 + 1 = 1021 {\displaystyle 51\times 20+1=1021}
O próximo número é 9. O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27. Método das Frações ContinuadasIrracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2. Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raiz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1. Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada: x + i y = | x + i y | + x 2 ± i | x + i y | − x 2 {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}} onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original. Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra z w = z w {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}} é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1: − 1 = i 2 = ( − 1 ) 2 = − 1 × − 1 = 1 = 1 {\displaystyle -1=i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1\times -1}}={\sqrt {1}}=1} A terceira igualdade não pode ser justificada. Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que c 2 = ± c , {\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}=\pm c,} portanto a 2 b 2 = ± a b {\displaystyle {\sqrt {a^{2}b^{2}}}=\pm ab} e finalmente z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} com o uso de = a = z {\displaystyle a={\sqrt {z}}} e b = w . {\displaystyle b={\sqrt {w}}.} Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos A = B {\displaystyle {\sqrt {A}}=B} Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.
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