Como resolver raiz quadrada com adiçao entre numeros

Ao trabalhar com radicais, podemos aplicar todas as propriedades básicas da álgebra: tanto a multiplicação e a divisão quanto a adição e a subtração. Veremos agora como determinar a soma e a diferença de raízes.

O primeiro e mais importante detalhe que deve ser observado é que só podemos realizar a adição e a subtração de radicais que apresentam índices e radicandos iguais. Dizemos que esses são radicais semelhantes. Observe alguns exemplos de radicais semelhantes com os quais podemos operar a adição e a subtração:

Para efetuar a adição e a subtração de radicais, podemos utilizar uma conhecida técnica de fatoração: o fator comum. Nesse caso, teremos em comum o radical, que colocaremos em evidência para que possamos então somar ou subtrair seus coeficientes (números que acompanham os radicais). Vejamos alguns exemplos:

a) 

Como dito acima, operaremos apenas os coeficientes: – 2 + 1 – 3 = – 4.

b) 

Subtrairemos os coeficientes 3 e – ½ para determinar a diferença dos radicais:

c) 

Operaremos os coeficientes fracionários:

d) 

Como já vimos, só podemos somar ou subtrair radicais de mesmo radicando e mesmo índice. Por essa razão, vamos organizar a expressão, colocando em evidência cada radical semelhante:

e) 

Reorganizaremos também a expressão, agrupando radicais semelhantes e operando seus respectivos coeficientes:

A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.

A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.

Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.

Representação da radiciação

A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:

Exemplos

a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.

Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.

b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.

c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.

Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:

Nomenclatura da radiciação

Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura:

a → Radicando

n → índice

b → raiz

√ → Radical

Propriedades da radiciação

Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.

Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice

A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.

Exemplos

Propriedade 2: Potência de expoente radical

A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:

Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica

Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais

A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.

Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais

De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.

Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2

Propriedade 5: Potência de uma raiz

A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.

Propriedade 6: Raiz de outra raiz

Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.

Propriedade 7: Simplificação de raízes

A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.

Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024.

Solução

No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por:

1024 = 210

1024 = 2 (5 · 2)

1024 = (25)2

Portanto, a raiz quadrada de 1024 é:

Questão 2 – (Enem) A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior.

A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real.

A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:

Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 1,062 m2.

Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um:

a) homem.

b) macaco.

c) gato.

d) boi.

e) coelho.

Solução

Alternativa b

Substituindo os dados na fórmula dada no enunciado e escrevendo 27 = 33, temos:

Portanto, é mais provável que o animal em questão seja o macaco.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.

Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.

Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?

Radiciação

Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.

A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.

Elementos da radiciação

A operação é representada por:

n→ índice

a→ radicando

b→ raiz

Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.

Calculando a raiz quadrada

O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.

Tipos de raiz quadrada

Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.

Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.

Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.

Calcule a raiz quadrada de 3600.

Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.

Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.

Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.

Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.

Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.

Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.

6,1² = 37,21

6,2²= 38,44

6,3²=39,69

6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.

Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.

Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².

Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.

O lado do quadrado é de 13 metros.

Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?

A) 8,1

B) 8,2

C) 8,3

D) 8,4

E) 8,5

Resolução

Alternativa D.

Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:

8,1²= 65,61

8,2²= 67,24

8,3²= 68,89

8,4²= 70,56

8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.

Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?

Resolução

Alternativa C.

a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.

b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.

c) Não possui raiz exata

d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.

e) Possui raiz exata igual a 1.