@canalfutura Qual é a metade da raiz quadrada de 20? #aprendanotiktok #agoravocêsabe #matemática
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A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada.
Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical
Videoaula sobre raiz quadrada aproximada
Raiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exata
Existem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:
-
\( \sqrt0=0\)
-
\( \sqrt1=1\)
-
\( \sqrt4=2\)
-
\( \sqrt9=3\)
-
\( \sqrt{16}=4\)
-
\( \sqrt{25}=5\)
-
\( \sqrt{36}=6\)
-
\( \sqrt{49}=7\)
-
\( \sqrt{64}=8\)
-
\( \sqrt{81}=9\)
-
\( \sqrt{100}=10\)
-
\( \sqrt{121}=11\)
-
\( \sqrt{144}=12\)
-
\( \sqrt{169}=13\)
-
\( \sqrt{196}=14\)
-
\(\sqrt{225}=15\)
Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir:
\(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\)
Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz.
Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa.
Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação.
Resolução:
De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está:
16 < 20 < 25
Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20:
\(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\)
\(4<\sqrt{20}<5\)
Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores.
Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20:
4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36
4,5² = 20,25
Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5.
Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que:
\(\sqrt{20}=4,4\) por falta
\(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso.
Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\):
\(4,4<\sqrt{20}<4,5\)
Testando os valores com duas casas decimais, temos que:
4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809
4,48² = 20,0704
Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48.
\(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta.
\(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso.
Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos.
Calcule \(\sqrt2\).
Resolução:
1 < 2 < 4
Temos que:
\(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\)
\(1<\sqrt2<2\)
Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9:
1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96
1,5² = 2,25
Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5.
\(\sqrt2\) = 1,4 por falta.
\(\sqrt2\) = 1,5 por excesso.
Calculando a segunda casa decimal:
1,41² = 1,9881
1,42² = 2,0164
\(\sqrt2\) = 1,41 por falta.
\(\sqrt2\) = 1,42 por excesso.
Saiba também: O que é uma função raiz?
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada
Questão 1
Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos:
A) 7,71
B) 7,72
C) 7,73
D) 7,74
E) 7,75
Resolução:
Alternativa D
O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64:
\(49<60<64\)
\(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\)
\(7<\sqrt{60}<8\)
Testando os números entre 7,1 e 7,9:
7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29
7,8² = 60,84
Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\):
7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076
7,75² = 60,0625
A aproximação por falta é, portanto, 7,74.
Questão 2
O número 3,87 é a aproximação por falta de:
A) \(\sqrt{14}\)
B) \(\sqrt{15}\)
C) \(\sqrt{15}\)
D) \(\sqrt{17}\)
Resolução:
Alternativa B
Calculando o quadrado de 3,87:
3,87² = 14,9769
O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\).
No caso de 20, o próximo quadrado perfeito é 25 cuja raiz quadrada é 5. Já o quadrado perfeito anterior a 20 é 16 cuja raiz é 4. Logo, já podemos assumir que a raiz quadrada de 20 está em um decimal entre 4 e 5.
Consulte Mais informação
A respeito disto, qual é a raiz quadrada de 9?
Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Como calcular a raiz quadrada de um número não exato? O cálculo de raízes não exatas pode ser feito por meio da fatoração, fato garantido pelo teorema fundamental da aritmética e propriedades dos radicais. Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes.
Qual e a raiz de 5?
3 | 1,73205 |
4 | 2 |
5 | 2,23607 |
6 | 2,4449 |
Qual o número que e a raiz quadrada de 5?
A resposta correta é 4. Também se pode perguntar qual e o cubo de 8? O número 2, pois 2³ (2.2.2) é igual a 8!
No caso da raiz quadrada de 125, o número se situa entre as duas raízes perfeitas de 121 (11×11=121) e 12 (12×12=144). As raízes quadradas desses números são 11 e 12. Então, vamos dividir 125 pelo segundo número, 11, cujo quadrado é mais próximo de 125. Qual e a raiz quadrada de 2?
Aproximação decimal da raiz quadrada de 2
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...
Portanto, raiz de 64 é igual a 8.
RD Resoluções
Há mais de um mês
Em alguns casos, a raiz quadrada pode não resultar em um número inteiro, mas sim em um número decimal. Neste caso, iremos encontrar o quadrado perfeito superior e inferior ao número que precisamos calcular a raiz. No caso de 20, o próximo quadrado perfeito é 25 cuja raiz quadrada é 5. Já o quadrado perfeito anterior a 20 é 16 cuja raiz é 4. Logo, já podemos assumir que a raiz quadrada de 20 está em um decimal entre 4 e 5. Após isso, utilizaremos a seguinte formula: r=p-x Onde: (r) é a diferença entre a raiz procurada e (p) é a raiz exata de x. r²=p²-2.p.x+x²=m x=(p²-m+x*²)/(2.p) Depois , atribua valor 0 ao x que está a direita da expressão (x*) e calcule o valor de x a esquerda da expressão. substitua o valor do x* pelo valor de x encontrado e calcule o novo valor do x. E assim por diante até a diferença entre os valores de x e de x* de duas iterações consecutivas esteja dentro da precisão desejada. O valor de r será: r=p-x (último valor de x calculado) Exemplo: Seja calcular raiz(20) com precisão de 0,0001: Então m=20, q=25 e p=5 x=(p²-m+x*²)/(2.p) x =(25-20+x*²)/(2.5) x=(5+x*²)/10 Iniciando x*=0: x=(5+0²)/10=0,5 Para x*=0,5: x=(5+0,5²)/10=0,525 Para x*=0,525: x=(5+0,525²)/10=0,52756 Para x*=0,52756: x=(5+0,52756²)/10=0,52783 Para x*=0,52783: x=(5+0,52783²)/10=0,52786 Como 0,52786-0,52783=0,00003<0,0001, então podemos considerar x=0,52786 e r=5-0,52786=4,47214 Conferindo: r²=4,47214²=20,0000361 Em alguns casos, a raiz quadrada pode não resultar em um número inteiro, mas sim em um número decimal. Neste caso, iremos encontrar o quadrado perfeito superior e inferior ao número que precisamos calcular a raiz. No caso de 20, o próximo quadrado perfeito é 25 cuja raiz quadrada é 5. Já o quadrado perfeito anterior a 20 é 16 cuja raiz é 4. Logo, já podemos assumir que a raiz quadrada de 20 está em um decimal entre 4 e 5. Após isso, utilizaremos a seguinte formula: r=p-x Onde: (r) é a diferença entre a raiz procurada e (p) é a raiz exata de x. r²=p²-2.p.x+x²=m x=(p²-m+x*²)/(2.p) Depois , atribua valor 0 ao x que está a direita da expressão (x*) e calcule o valor de x a esquerda da expressão. substitua o valor do x* pelo valor de x encontrado e calcule o novo valor do x. E assim por diante até a diferença entre os valores de x e de x* de duas iterações consecutivas esteja dentro da precisão desejada. O valor de r será: r=p-x (último valor de x calculado) Exemplo: Seja calcular raiz(20) com precisão de 0,0001: Então m=20, q=25 e p=5 x=(p²-m+x*²)/(2.p) x =(25-20+x*²)/(2.5) x=(5+x*²)/10 Iniciando x*=0: x=(5+0²)/10=0,5 Para x*=0,5: x=(5+0,5²)/10=0,525 Para x*=0,525: x=(5+0,525²)/10=0,52756
Para x*=0,52756:
x=(5+0,52756²)/10=0,52783
Para x*=0,52783:
x=(5+0,52783²)/10=0,52786
Como 0,52786-0,52783=0,00003<0,0001, então podemos considerar x=0,52786 e
r=5-0,52786=4,47214
Conferindo:
r²=4,47214²=20,0000361
Karla Bianca Penha
Há mais de um mês
existe várias formas de apresentar a mesma resposta: a "real": aproximadamente 4,4 ou 2 x raiz de 5
RD Resoluções Há mais de um mês
Em alguns casos, a raiz quadrada pode não resultar em um número inteiro, mas sim em um número decimal. Neste caso, iremos encontrar o quadrado perfeito superior e inferior ao número que precisamos calcular a raiz. No caso de 20, o próximo quadrado perfeito é 25 cuja raiz quadrada é 5. Já o quadrado perfeito anterior a 20 é 16 cuja raiz é 4. Logo, já podemos assumir que a raiz quadrada de 20 está em um decimal entre 4 e 5. Após isso, utilizaremos a seguinte formula: r=p-x Onde: (r) é a diferença entre a raiz procurada e (p) é a raiz exata de x. r²=p²-2.p.x+x²=m x=(p²-m+x*²)/(2.p) Depois , atribua valor 0 ao x que está a direita da expressão (x*) e calcule o valor de x a esquerda da expressão. substitua o valor do x* pelo valor de x encontrado e calcule o novo valor do x. E assim por diante até a diferença entre os valores de x e de x* de duas iterações consecutivas esteja dentro da precisão desejada. O valor de r será: r=p-x (último valor de x calculado) Exemplo: Seja calcular raiz(20) com precisão de 0,0001: Então m=20, q=25 e p=5 x=(p²-m+x*²)/(2.p) x =(25-20+x*²)/(2.5) x=(5+x*²)/10 Iniciando x*=0: x=(5+0²)/10=0,5 Para x*=0,5: x=(5+0,5²)/10=0,525 Para x*=0,525: x=(5+0,525²)/10=0,52756 Para x*=0,52756: x=(5+0,52756²)/10=0,52783 Para x*=0,52783: x=(5+0,52783²)/10=0,52786 Como 0,52786-0,52783=0,00003<0,0001, então podemos considerar x=0,52786 e r=5-0,52786=4,47214 Conferindo: r²=4,47214²=20,0000361
Essa pergunta já foi respondida!