A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que: Show A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2. Definição:Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$
a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido). ✅ Curiosidade Como calcular a raiz quadrada?Raiz quadrada exataEm caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir: Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$. Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$. Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos: Exemplo 3: $$√{576}=$$ $$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$ Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto: $$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$ Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja: $$$√{576}=24$$$ Raiz quadrada não-exataNem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5. Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata: 1. Decomposição em fatores primos: $$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$ Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$. Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz. Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$. 2. Tentativa por aproximação: Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação. Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo: $$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$ Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados. Operações com raizes quadradasAdição e subtraçãoAo tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$. Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz: Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$ Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$ Multiplicação e divisãoDiferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si. Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$ Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$ O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$ Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$ Page 2
de esta proporcion 5 10 + 1 2x: 181 :: 1 2 x. 12x * 18 Este quarto término será , que se reduce á 510 + 12x izv; pero segun se espresa en la cuestion, la ganancia 510+12x del segundo y su accion x componen 26 doblones; luego 510+izz +x= 26. Para resolver esta equacion, echemos el denomina'dor у tendrémos 2 25x + x (510 + 1 2 x :)=26 ( 10 + 1 2x.), ó egecutando las multiplicaciones indi 2 2 5 x + 5 I 0x to I 2 XX = 132 60 +3 1 2 x. Transponiendo y reduciendo , sale 1 2 xx + 42 3x = I 11 3 2 60; dividiendo por 12, *2 + 422 13260 i que se reduce á x2 +4=1105. Tomando , pues , la mitad de á . i que es , levantándola al quadrado, y añadiéndola á cada miembro, tendrémos x2 + 4x + 1105 = I 90601, reduciendo 1105 á quebrado. Sacando, pues, la raiz quadrada , tendrémos x too 士 =+391; luego x=- - " = 39", de cuyos dos valores solo resuelve la cuestion el valor * - 1413-301 =160 = 20; eran pues 2 o doblones la puesta del segundo asociado ; por 3 consiguiente era su ganancia 6, y la del primero 12 dob. 157 La misma es de todo punto la regla respecto de las equaciones literales. Si hubiera de resolver la equacion abr axx = 6c, conforme a lo que se dijo ( 151 y. 152 ), transformaría esta equacion en axx — abx=_b%c -62c; despues en xx — bx==2; añadiria á cada miembro el quadrado de esto es + у tendria xx bb Page 3
este valor en la primera equacion x2 + 3y2 = 6x, y 3992 +8 +3902 +5 2 !) + 332 = 6 (12 ó (39y?+$)2 -бу? (7262) ? (39y2 +52 392 = 72—6y2, (72—by?) + 3y = (234y?+-48) (72—6y2) ó finalmente borrando el denominador (72—62)2 comun ( 39.92 + 8) + + 3.92 (72 — 693)2 = 2 3 4 y2 + 48)(72—692), equacion final en la qual solo hay que executar multiplicaciones y reducciones regulares. De las Equaciones de dos términos. 165 Llamámos Equaciones de dos términos aquellas que no incluyen sino una sola potencia de la incógnita , porque siempre se pueden reducir a dos términos. Por egemplo, la equacion axs +bx) = a*ba'bi es una equacion de dos términos , porque si la escribimos en esta forma ( a + +b) 3s =a+b? — a}b}, echaremos de ver que siendo cantida a4b2 des conocidas a y b, podremos reducir siempre a +b á una sola cantidad, y ath? - alb} igualmente á otra cantidad sola ; de modo que dicha equacion se puede representar por estotra pxs =q. Estas equaciones se resuelven con grandísima facilidad; porque es evidente que despues de haber despojado la potencia de la incógnita por las mismas reglas que en las demás equaciones solo resta sacar la raiz espresada por el esponente de la incógni Por egemplo, la equacion pxs = q se convertiria en x' =,; y sacando la raiz quinta , en x= x=v 166 Quando el esponente es impar, no puede tener la incógnita mas que un valor real. Por egemplo, si tuTom.II. Page 4
biéramos esta equacion xs = 1024, tendríamos . x=ř1024 = 4; y es evidente que no puede haber mas que un número real el qual elevado a la quinta potencia, produzca 10 2 4; luego &c. Si el segundo miembro de la equacion tubiese el signo —, el valor de x. tendria el signo -i ; porque binado por multiplicacion con — un número impar de veces, dá —; pero quando el esponente es par, la incógnita tiene dos valores, el uno positivo y el otro negativo, que pueden ser ó ambos reales , ó ambos imaginarios. Serán ambos imaginarios quando el segundo miembro tubiere Si tubiéramos la equacion x4 = 625 , inferiríamos que x = 625 = 5; pero ya que de - multiplicado por —, un número par de veces, resulta lo mismo que multiplicando + por +, podrá ser — 5 igualmente que +5 el valor de la incógnita. Así se deberá escribir x =IV 625 555 , del mismo modo que en las equaciones de segundo grado. Pero si hubiera sido x4 = -625; hubiéramos inferido que x==Ý—625; cuyos dos valores son imaginarios , por no haber número alguno positivo ó negativo, que multiplicado por sí mismo un número par de veces, pueda producir una cantidad negativa. Supongamos que se nos ofrezca buscar dos medios proporcionales entre 5 y 625. Llamémos x é y las dos incógnitas, y tendremos = 5: x:y: 625, de donde nacen estas dos proporciones
5 : X :: X : Y x : y :: Y: 625. que con multiplicar los estremos y los medios, producen las dos equaciones siguientes : 5 y=x2, y 62 5* =y?. La primera dá y =; substituyendo en la segunda, tenemos 625*=; dividiendo por x y multiplicando por % sacamos x3 =15625, y finalmente x=815625= = 25; luego y === 125. . De las equaciones que se pueden resolver por el mismo método que las de segundo grado.
167 En estas equaciones no ha de haber mas que dos potencias diferentes de x, pero el esponente de la una de ellas ha de ser duplo del esponente de la otra; tales son las equaciones x+ + 5*2 = 8,76 + 5x} = 8, y se resuelven como las de segundo grado ; despues de haber hecho positiva la potencia mas alta, si acaso no lo fuere, de haberla desembarazado de las cantidades que la multiplican ó la dividen, se tomará la mitad de lo que multiplicare la potencia inferior , cuya mitad se quadrará y añadirá á cada miembro, con lo que llegará á ser dicho primer miembro un quadrado perfecto. Finalmente se sacará la raiz quadrada de cada miembro, dándole á la del segundo el doble signo + Y estará rcducida la equacion á una de dos términos. Por egemplo, si se me encargára hallar dos números, de cuyos cubos sea la suma 35 , y cuyo producto, sea 6; ten dria
dria estas dos equaciones x} + g3 = 35, y xy = 6. De esta última saldria y = , cuyo valor substituido en la primera, daria x} +216 = 35. Quitando el denominador y transponiendo, resultaria 206 35x3 = - 216. To- maria, pues , la mitad de 35 que es , añadiria su qua- drado á cada miembro , y sacaria x6 35x3 + ( )=(1) 216; estrayendo la raiz quadrada, inferiria que ==VE) = 2 1 6 ; transponiendo, hallaria x3 ==VE) - 216, y finalmente sacando la raiz cúbica, x=V + V) — 216; pero (14)_ ) ; y (2 216 : luego ... V 1): — 216 = V = : luego x =..... 11, que dá estos dos valores x = , V V = ŕ27=3, yx=V755719 = 0,15 = ï8=2; v y ya que hallamos y = , tendremos y = 2, é y=3. , Quando el esponente mas alto es 4, ó un múltiplo de 4, puede haber hasta quatro raices reales. Aplicacion del Álgebra á las Progresiones å
168 Segun probamos en la Arismética ( I. 2 13 ), un término qualquiera de una progresion arismética creciente se compone del primero , añadiéndole tantas veces la diferencia comun, quantos son los términos que hay antes de él. Lue
Luego si representamos por a el primer término, por u el término que se considera: la diferencia comun ó la razon de la progresion por d; y finalmente por n el número total de los términos , espresará n— I el número de términos que precedan al término u; y la proposicion citada se podrá cifrar en esta equacion u = a +(n-1)d que resuelve la cuestion en que se pidiese el valor del último término u de una progresion arismética en el supuesto de ser conocida la razon d, el número n de los términos, y el valor a del primero. Pero una vez que hay en esta equacion quatro cantidades , podrá servir para resolver quatro cuestiones generales. Con efecto 1.° Si tomamos a por incógnita , y buscamos su valor y por las reglas dadas , resultará a = u (n-1)d, cuya espresion nos está diciendo, que hallarémos el primer término de una progresion arismética creciente , restando del último u la diferencia d tomada n -I - I veces : quiero decir, la diferencia tomada tantas veces menos una como términos hubiere en toda la progresion. 2° Si consideramos n como incógnita. la equacion u =a +(n-1)d, que no se distingue de u=a+nd -d, dá transponiendo , nd = u—a+d, y dividiendo n="+d="7+1, cuyo valor nos enseña cómo +1 podemos hallar el número de los términos de unå progresion arismética , en el supuesto de que conozcamos el primer término a , el último u, y la razon d , restando el pri
mero del último , dividiendo la resta por la räzon d, y añadiéndole una unidad al cociente. Por egemplo , si sabemos que 5 es el primer término de una progresion, 37 el último, y 2 la diferencia , restarémos 5 de 37 , y resultarán 32, que divididos por la diferencia 2, 2 dará 16, á cuyo número añadirémos 1, y saldrá 17 que será el número de los términos de la progresion. 3.° Finalmente , si miramos d como incógnita en la equacion u = a + (n-1)d , sacarémos transponiendo (1-1) du a, y dividiendo por n— Iid=3 de cuyo resultado sacamos que para averiguar la diferencia que debe reynar en una progresion arismética , una vez que se conozca el primer término, el último , y el número de los términos se debe restar el primero del último , y dividir la resta por el número de los términos menos uno. Por medio, pues , de la sola equacion u =a +(n-1)d, podemos sacar la resolucion de quatro cuestiones generales , ó podemos resolver esta que las comprehende todas quatro: Dadas qualesquiera tres de estas quatro cosas , el primer término , el último, el número de los términos y la diferencia de una progresion arismética , hallar la quarta. 1 69 Si se propusiese otra qualquiera propiedad general tambien de un modo general , nos proporcionará por los mismos medios la resolucion de tantas cuestiones diferentes como cantidades hubiere en la proposicion de dicha propiedad. Por egemplo , una de las propiedades de las progresio
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conocidas las cantidades a, uy s. 3.° y 4.° Si fuesen da- dividiendo por ; y finalmente u =*-a, que resuelve la primera cuestion , y'a=- u que resuelve la segunda. Ahora demostrarémos algebraicamente la propiedad hicimos memoria poco ha. . Es evidente que si seguimos el supuesto de que a sea el primer término у d la diferencia , podemos dár á toda progresion arismética creciente esta forma • a.a+d. a+2d.a+ 3d. a + 4u.a+sd.a+6 &c. Imaginemos que debajo de la progresion escrita en esta forma se escriba otra vez , pero al revés, de modo que *a. a+d.a+2d.a+30.a+4d.a+sd. a+ 6d • a+6d.a+50.a+40. a +3d.a+2d.a+d. a. Como son iguales estas dos progresiones, es evidente la suma de los términos de la una de las dos es la mitad de las dos juntas: pero si ponemos cuidado, echaremos de ver que los dos términos correspondientes de la progresion escrita en esta última forma componen , y deben componer siempre una misina suma, y que esta suma es la que resulta de la adicion del primero y el últimɔ término de la primera progresion; luego hallarémos la suma de ambas progresiones sumando el primero y último término de la una, y tomando este resultado tantas veces como términos hay; luego para sacar la suma de sola una de las dos progresiones, se de Page 6
—qu; de donde se saca qu - a= ass=(9-I)s y por consiguiente s =9, por medio de por medio de cuya fórmula se sacará la suma s de todos los términos en el supuesto de ser conocidos el primer término a, y la razon q. Tambien puede servir esta fórmula para las progresiones decrecientes ; porque si se toma inversamente una progresion decreciente, resultará una progresion creciente, y no habrá mas variacion que la de decir último término en lugar de primero , y primero en lugar de último. Si la progresion decreciente fuese continuada al infinito, es necesario introducir en el cálculo lo que espresa este supuesto, esto es, que el último término es infinitamente pequeño, en cuyo caso qu - a= qu, suponiendo que sea u el primer término. Muy en breve darémos la ra. zon de esta regla. 174 Se echa, pues, de ver que para sacar la suma de todos los términos de una progresion geométrica , se debe multiplicar el término mayor por la razon de la progresion, de cuyo producto se restará el término menor de la misma progresion , y la resta que saliere saliere se dividirá por la razon disminuida de la unidad : de suerte , que quando la progresion es decreciente al infinito , se reduce la operacion a multiplicar el término mayor por la razon , y dividir despues por la razon menos la unidad. Así la suma de los términos de esta progresion ** ģ: 16 &c. continuada al infinito es { x 2 ở 1: lo Page 7
tambien será ==-iti = ... Si egecutamos la division que esta espresion representa la suponemos continuada al infinito , el cociente que encierra cat à + a ..... +, y el de in у = trin Luego lo mismo es , que +a+a+a, y lo mismo es citi que a a Por consiguiente una cantidad infinita no crece ni mengua por añadirla ó quitarla cantidades finitas : luego quando una cantidad complexa tuviere algun término infinito y otros finitos, podrán estos omitirse , sin que por esto se altere el valor de ja espresada cantidad. 184 Es evidente que quando una cantidad, x por egemplo, es infinita , son tambien infinitas todas sus potencias у todas sus raices. Pero estos infinitos componen varios grados ó distintas órdenes , segun varían los grados de sus esponentes. Quando x es infinita, su quadrado xx que es el producto del infinito multiplicado por el infinito , ó el infinito tomado una infinidad de veces, es infinitamente infinito , ó infinito de segunda orden. El cubo xxx que es el quadrado xx multiplicado por el infinito x, es infinito de tercera orden , y así prosiguiendo. Estas órdenes del infinito son las órdenes potenciales. Hay tambien las órdenes radicales. Aunque xí ó VX sea infinita, pues no hay cantidad finita alguna que la sea igual por el supuesto, es no obstante infinitamente menor que x, pues es media proporcional entre x y la unidad, entre el infinito y el finito. Y xí ó Vx, tambien ' Page 8
infinita , es infinitamente menor que xi. Las potencias cuyo esponente es negativo, y la raiz , infinita , son cantidades infinitamente pequeñas. Por egemplo x que es , es infinitamente pequeña ( 182 ), y x^>, ó es todavia infinitamente menor , pues es un infinitamente pequeño dividido por el infinito x, finitésima parte de un infinitamente pequeño. Por la misma razon es x-m} de una orden todavia inferior &c. Pero ** ó tr , bien que infinitamente pequeña , pues supone ó mos x infinita , es infinitamente menos pequeña que x porque x-6 ó es media proporcional entre 1 y 3 ó entre y 185 En el supuesto de ser x infinitamente pequeñá, todas sus potencias , y todas sus raices de un esponente positivo son tambien infinitamente pequeñas ; pero guardando la misma graduacion y distincion de ordenes que el infinito, de suerte que de las dos potencias de una misma raiz infinitamente pequeña , la que mayor esponente llevare será infinitamente menor que la otra. Quando x es infinitamente pequena , será xx todavia infinitamente menor , ó un infinitamente pequeño de segunda orden , xxx de tercera orden. Porque 1 , x,xx , xxx &c. son cantidades propor XX cionales : de modo que siendo i infinitamente mayor que x, será x infinitamente mayor que xx &c. Hay tambien órdenes radicales de infinitamente pequeños. Una vez que V x es media proporcional entre el finito I y el infinitamente pequeño x, es infinitamente pe que Page 9
V-axV-b=Vax Vb ® V – 1 XV-1, ó Vab Es muy del caso no confundir V (-a) con V - aa : la primera cantidad es V (-ax-a), y la otra es V (max to a). En orden á esto es menester hacer una advertencia muy importante. Ya que — axa dá + a2, cuya raiz es ( 148 ) a, parece que V XV-a deberia dár a; siendo así que segun decimos da -+ solo facil dár la razon de esta diferencia. Quando se me pregunta quál es la raiz de a’, hago bien en decir que es + a igualmente que - a , porque la pregunta no determina si se considera acomo formado de taxta, ó de - ax - a; pero quando se me pregunta quál es el valor de V -ax V-a, bien que en virtud de las re v glas se reduce esta cantidad á v + a2 no la puedo seu ñalar otra raiz que — a , porque la misma pregunta determina que aproviene entonces de - ax - a, y por consiguiente su raiz ha de ser — a. Quando ocurra dividir y bc por y -c, SC dividirá Vbc V - I por VcxV-I, el cociente será I.Vbó vb. 197 Antes de pasar á otro asunto harémos acerca de las imaginarias algunas consideraciones que á su tiempo nos serán de alguna utilidad. 1.° Las raices quadradas de a son indistintamente Va Page 10
otra linea AZ tomaríamos una parte AC igual á la linea b. Juntaríamos los estremos By C de la primera y de la tercera tirando la linea BC. Tiraríamos por el estremo D de la segunda , la linea DE paralela á BC ; y la que determinaria sobre AZ, seria el valor de x = que las paralelas DE y BC dan ( 1.45. 1 ) esta proporcion AB : AD :: AC: AE, esto es , c:a::b: AE ; lue ciab go ( 1.183 ) AE=x=. Por consiguiente se redu: ) x= ce la operacion á hallar una quarta proporcional a las tres lineas dadas c, d, b. Se sigue, pues, que si se ofreciera construir x seria este caso el mismo que el primero; no habria mas diferencia sino la de ser iguales las lineas a y b. Para construir x = +4", repararémos que esta cantidad es la misma (a-fod) b que 2. Considerando , pues, atd como una sola linea , representada por m, y c+d tambien como una sola linea 1, se reducirá la equacion á x = , que ya sabemos cómo se construye. Si fuese x =25, consideraríamos que siendo aa—bb lo mismo que (a + b)(a - b), pues (a + b) x (a−b) bb, podríamos dár á esta forma . (a + b)(a, y buscaríamos una quarta proporcional a c, á a + b y a-b. Si la cantidad que se ha de construir fuere x = la escribiríamos así x = x; y despues de construida T conforme hemos enseñado, llamaríamos m la linea que hubiese resultado de esta construccion; con lo que Page 11
nos del numerador, ó del denominador no se compone de un mismo número de factores: por egemplo, quando la cantidad es. Pero es de advertir, que jamás se llega á resul a tados de esta naturaleza , sino quando en el discurso de un cálculo se ha supuesto, con la mira de simplificarle, alguna de las cantidades igual a la unidad. Por egemplo , si en supongo b = 1, resultará I Pero como el que se empeña en construir una cantidad ha de conocer indispensablemente los elementos de que se vale para la construccion , siempre sabrá quál es la cantidad que habrá supuesto igual a la unidad, y podrá restituirla á su lugar siempre que conviniere. En esto no puede haber tropiezo alguno ; porque debiendo ser siempre el mismo en cada término del numerador y del denominador el número de las dimensiones , bien que puede no ser el mismo en el numerador que en el denominador ; se restituirá en cada término una potencia de la linea que se hubiese tomado por unidad del grado que fuese menester para com; pletar el número de las dimensiones. Así, si tuviera que construir x = , supondria que d es la linea que se ha tomado por unidad, y escribiria 134bd2+d truiría haciendo b2 = dm , c = dn, y al d'p, lo que ? la transformaría en dap-t-bda7d2n ó (-+-+-)d cantidad facil de construir, una vez que esten construidos, por lo declarado antes, los valores de m, n, p; es á saber m=,n=p= n En todo lo dicho hemos supuesto que el número de los Page 12
-Fig. piedades que están necesariamente enlazadas con las condi ciones de la cuestion. Hecha esta prevencion , de la qual se nos ofrecerá hacer uso , pasamos á los egemplos que en esta materia siempre son mas perceptibles que los preceptos generales. 205 Cuestion I. Describir un quadrado ABCD en un triángulo dado EHI. Por triángulo dado entendemos un triángulo, del qual todo es conocido, como los lados, los ángulos, la altura &c. Considerando la cuestion con algun cuidado, se echa de ver que se reduce á hallar en la altura EF un punto G, por el qual tirando AB paralela á HI, sea esta linea AB =GF: mirada a esta luz la cuestion , se presenta naturalmente su resolucion : no hay mas que determinar la espresion algebraica de AB y la de GF, é igualarlas despues. y ; Pero ya que AB es paralela á HI, serán semejantes los triángulos EHF, EAG, y tendrémos (1.466) EF:EG:: y EH : EA, y por ser tambien semejantes EHI, E AB será EH:EA:: HI : AB ; luego EF: EG :: HI: AB; de donde sacaremos con substituir en lugar de las lineas sus valores literales a :a-x::b: AB = ab-b* = x; de donde sacarémos por las reglas dadas ( 116 y 120); x = Para construir esta cantidad, es menester, conformán do Page 13
donos con lo que digimos ( 200 ), hallar una quarta Fig. proporcional à a +b, by a, y lo conseguiremos por este y camino. Llevarémos desde Fá o una linea FO=a+b, esto es, igual á EF+HI , y tirarémos EO: tomando despues FM = H=b, tirarénios paralelamente á EO la linea MG que encontrará EF en G, y determinará GF que es el valor de x; porque los triángulos semejantes E FO, GFM, dán FO : FM:: FE: FG, ó atb:b:: 0 : FG; será, pues, FG = Quando el ángulo EIH fuese agudo , será la resolucion qual la hemos sacado. Si fuese recto, el lado BC del quadrado , se confundirá con BI. Finalmente , si fuere ob- 10. tuso, el quadrado ABCD, no estará inscripto en el triángulo , porque estará en parte fuera de él. Lo mismo digo del ángulo EHI. 206 Cuestion II. Conociendo la longitud de la linea BC, y los ángulos B y C; que forman con ella las dos li- 11. neas BA y CA, determinar la altura AD, á que se encuentran estas dos últimas lineas. Sirven los ángulos en los cálculos algebraicos por me'dio de las mismas lineas de que se hace uso en la Trigonometría , que son los senos, las tangentes , &c. Asi quando decimos que es dado un ángulo C, por egemplo , queremos decir , que es dado ó conocido el valor de su seno ó de su tangente. Sentado esto , llamemos BC =d, AD = y," el radio , y m la , y m la tangente del ángulo ACD. En el triángulo rectángulo ADC, tendrémos ( l. 665) CD : DA:: el Page 14
gulo ABC hallar los segmentos AD y DC formados por la per. Fig. pendicular BD, y hallar tambien la misma perpendicular BD. I 2. Esta cuestion nos abre camino para enseñar á un tiempo el modo de traducir en equacion las cuestiones de Geometría , y como egecutando diferentes preparaciones, se pueden inventar nuevas proposiciones. Si conociera cada una de estas lineas las verificaria del modo siguiente. Sumaria el quadrado de BD con el quadrado de CD, para ver si la suma era igual al quadrado de BC conforme debe ser ; pues el triángulo BDC es rectángulo ( 1.5 17 ). Sumaria tambien el quadrado de AD con el quadrado de BD, para ver si la suma era igual al quadrado de AB. Imitemos, pues , esta verificacion, para cuyo fin llamarémos BD , y; CD, X; BC =a; AB =b; AC =0. En virtud de estos supuestos AD que es = AC — CD, será =- - *. Tendrémos, pues, Xx + jy = ad, y cc – = x. 20x + xx + yy = bb. Como xx é yy no tienen, en cada equacion mas coeficiente que la unidad , resto la segunda equacion de la primera, y saco sobre la marcha 20x -c=aa - bb, ó -bb-tcc +c, que podemos escribir así 를 (a+b)(a−b) +C. x Tom. II. 03 la
Fig. lado AC: cuya operacion concuerda enteramente con lo 1 2. que digimos ( 1.6 74 ). Pero se pueden inferir otras muchas consecuencias de estas' equaciones, y nos detendremos en deducir algunas, a fin de que se acostumbren los principiantes á leer en una equacion todo lo que en ella está cifrado. 209 I. La equacion 2 cx — CC = ad – bb, es lo mismo que c. ( 2x–c)=(a+b)(a−b). Y como el producto de los dos primeros factores es igual al producto de los dos últimos, podemos considerar los dos primeros como los estremos, y los dos últimos como los medios de una у proporcion , y tendrémos c:a+b::0—6: 2 x —c; pero b x sacarémos AC : BC+ AB :: BC - AB:CD-AD, cuya proporcion es la misma que sacamos en otro lugar (1.674). II. Si desde el punto C como centro, y con un radio =BC, trazamos el arco BO, y tiramos la cuerda BIO, tendrémos (BD): +(DO) =(BO), pero DO=CO-CD ” = =BC — CD =-- x; luego (BO) =yy + aa— 2 ax+ xx ; pero ya hallamos antes yy + xx=aa: luego (BO)2 = 2 aa — 2 ax = 2a (a-x). Substituyendo , pues, en lugar de * su valor sacarémos (BO) = 2a (a+ 5x “)=*(bb—(c- a)*); porque 2 ac -(aa — 2 ac +cc)=-(-a) ; pero si consideramos c-a como una sola cantidad, bb-c-a)? es lo mismo que (6+6–a) (6-c+a); luego (BO) =
(b +-a) (b+a), á cuya espresion se la pue- Fig. de dar estotra forma (BO)2 = (a +6+6—2a) (a+b 12. dár b +6 - 20); luego si llamamos 2s la suma de los tres lados , tendremos (BO) = (25 — 2a)(25 — 20) = 4 (s—a)(s—c). Si desde el punto C se baja á la OB la perpendicular CI, tendrémos ( 1.6 6 4 ) en el triángulo rectángulo CIO, esta proporcion Co: OI :: R: sen OCI; esto es , a: į BO :: R: sen OCI; luego BO = • BO = ; y por consiguiente (BO)2 = 44?(senôch)2 y si igualamos estos dos valores de (BO), resultará .. ( sen OCI) = 4(s—a) (s —c), ó dividiendo por 4a, y eliminando los denominadores , ac ( sen OCI) = R?(s—a) (s—c), de donde se infiere esta proporcion ac: (s—a)(s—0):: R2: (sen OCI), de esta resolucion se podia sacar otro método para resolver una cuestion de Trigonometría que resolvimos en su lugar (I. 6 75.) III. La equacion yy + xx =aa dá yy zaa— *x = (a + x)(a x); luego si substituimos en lugar de x su valor, tendremos yy=(a+ 36+) (a + (145 (at). (ca) -~))=(19+ (a+:+b)(a + * luego 4cc yy = (a +6+b) (a +6-6) (6-+---a) (6—6+a) ó 4cc yy =(a+b+c) (a+b+c-26) (a+b+c— 2a) (a+b+c2c). Luego si lla 20 mamos 2s la suma a + b +oc de los tres lados, tendrémos 4cc yy = 25 (25— 26) (25 — 2a) (25—20), ó - 2c 4c cyy = 16s. (s-a) (5-6) (s 0); dividiendo 04. por
Fig. por 16, reduciendo y sacando la raiz quadrada , V[s. (s—a)(s—b)(s—c)]. Pero ó 4cx PD es la su- suma , y se sacará finalmente la raiz quadrada del producto. IV. La equacion 20x — 20 =aa bb, dá bb que hasta aquí, tendríamos yy + xx= aa, é yy + cc +2cx+xx=bb, porque AD que era c— x, es en este caso c+ x. Luego si restamos la primera equacion de la segunda, tendremos cc + 20x =bb— da, ó c(c + 2x) = (b + a) )=( ba) (b-a), de la qual sacarémos c:b+a::b-a:c+2 x; -a; + AD ; luego AC: AB + BC :: AB BC: CD + V. La misma equacion cc + 2cx = bb — aa, , 12. dá bb =aa + cc + 2cx; comparando esta equacion con estotra bb = aa + cc — 2cx que corresponde á la fig. 1 2, - disminuida de 2 cx. opuesto án Page 15
Fig. de segundo grado, dá estos valores x FEV (+ ) de los quales el que lleva el signo -, no sirve para el caso propuesto. Para construir el primero, le darémos esta forma ... * = + V + 2a). Sentado esto, en un pun Vī to qualquiera C de una linea indefinita PQ, levanto la per15. pendicular AC = 6, y tomo en CA y CP las lineas CO, CM iguales , cada una al lado c del quadrado dado: ti- el determina CN, que es el valor de o, ya que los triángulos semejantes ACM, OCN dán AC : OC :: CM: CN, esto es b:c::c: CN; luego CN=, en virtud de esto el va : lor de x llega á ser x = CN+ V(CN+2a) * CN ; pero V(CN + 2a) * CN espresa ( 203 ) una media proporcional entre CN y CN + 2a: luego todo está en determinar esta media proporcional, y juntarla con CN. Para cuyo fin en la CN prolongada tomo CQ = 2a; y sobre toda la linea Ng , describo el semicirculo NVQ , al qual 1a CA encuentra en V: llevo la cuerda NV desde у será CP el valor de x; porque NV (1. 463 ) es media proporcional entre NC y Ng, ésto es, entre CN y CN + 2a : luego NV ó PN = V(CN + 2a) * CN ; luego CP =CN + PN= CN + V(CN + 2a) * CN 14. = x; se llevará , pues, CP desde D á G, tendrémos у el punto G , y si por este punto y el punto A tiramos AG, tendremos el triángulo EDG igual al quadrado cc. Pa Page 16
Fig. La construccion que hemos propuesto para el caso precedente , sirve tambien para este , con sola la diferencia de 15. llevar NV desde N á K ácia Q : entonces el valor de x, que en el caso precedente era CP , será CK en este. Con = VE + 2a esto es x =-CN to V(CN + 2a) * CN ; y una vez que NV = V V (CN + 2a) * CN CN + NV =- CN + NK=CK, y por esto se llevará CK '14. desde D á G'; y estará determinado el punto G', por el G qual , y por el punto A , tirando AG'E', tendremos el triángulo G'DE' igual al quadrado cc: esta es la segunda resolucion de la cuestion. Hemos supuesto que el punto A estaba mas alto 14. que la linea BG: si estuviera debajo, la cantidad b, ó la linea 16. AC seria negativa, y los dos primeros valores de x serian por y consiguiente x =- - V - 2acc, ó x=- - 一号+ VE – 2a) * , que xo, que manifiestan que no es posible el problema, sino quando 2 a es menor que os porque quando es mayor , la cantidad que está debajo del radical es negativa, y por consiguiente ( 150 ) los valores de x.son imaginarios ó absurdos. Quando 2a es menor que 6, los dos valores de x son negativos, y entonces es imposible el problema , respecto del ángulo HDI ; pero tiene dos re
soluciones respecto de su igual E' DG'. Para sacar estas dos Fig. resoluciones se deben construir los dos valores x=- + VE - 2a) * del modo siguiente. Despues de determinado , como arriba , el valor CN de , tomarémos NQ 17. =2a , y trazando sobre NQ como diámetro , el semicirculo NVQ se le tirará la tangente CV : se llevará despues CV desde C á Pácia N, y desde Cá K á la parte opuesta: serán NP y NK los dos valores de x: se llevarán desde D 16. á G, y desde D á G', y tirando por el punto A , y por los y y y G' las dos rectas EG , E'G', cada uno de los dos triángulos EDG , E' DG' será igual al quadrado cc. En quanto á lo quc hemos dicho у NK serán los dos 17: valores de x, lo probarémos facilmente, porque ( 1.477) siendo CV media proporcional entre CN y cg , es = V cg * CN, ó (poniendo en lugar de estas lineas sus valores ) CV ó CP ó CK=VE ) 2a) xo ; luego NP = CN CP = - Ve 2 a) xiy. NK=CN+CK="+VE – 2a)*, cuyas dos cantidades son las mismas que los valores de x, mudarlas los signos ; luego estas mismas cantidades llevadas 16. desde D á G serán los valores de x. 2 19 Si el punto A estuviese dentro del mismo angulo HDI , caeria entonces BD à la parte opuesta á la par- 18. te donde caía primitivamente : a sería negativa , y los dos valores primitivos de x vendrian á ser x = =
Fig. Vi -2006, que son los mismos que los que acabamos de construir , sin mas diferencia que la de los signos. Se echa , pues, de ver que entonces se debe construir como 117. se hizo en la fig. 17 , pero llevando los valores NP у NK 118. de x desde D ácia I: y los dos triángulos DEG, DE'Grea solverán la cuestion.
Finalmente , si el punto A estubiese debajo de , llevan precisamente signos contrarios á los que llevan los valores que hemos hallado de x. Se egecutará, pues, la misma construccion. En este caso, será CK el valor positivo de x, y CP su valor negativo; se llevará el primero des(I 9. de D á G ácia B, y el segundo a la parte opuesta, esto es, Nos hemos detenido en individualizar los diferentes algunos usos de esta misma resolucion. Si el asunto de la cuestion fuera desde un pun20. to dado A fuera de un triángulo ó en un triángulo dado DHI, tirar una linea AF que divida este triángulo en dos partes pre
presada por la razon de má la razon de m á n, se sacaria su resolucion de Fig.. la precedente. Porque una vez que el triángulo DHI es dado, y sabemos qué parte debe ser del triángulo DHI el triángulo DEF, si buscamos el quarto término de esta proporcion m +-n:m:: la superficie del triángulo DHI es á un quarto término , este quarto término será la superficie que corresponde al triángulo DEF. Pero siempre se puede hallar un quadrado cc igual á esta superficie ( 203 ); redúcese, pues, la cuestion á tirar por el punto A una linea AEF, que forme con los dos lados DH, DI un triángulo DEF igual al quadrado cc; quiero decir, que está reducida á la cuestion precedente. Tambien se echa de ver que se reduciría á la misma cuestion la que se dirigiese á dividir una figura rec, tilinea qualquiera por una linea tirada desde un punto qual- 2 I quiera A, en dos partes BCFE, EFDHK que fuesen en tre sí en una razon dada. Con efecto, por ser conocida, segun se supone, la figura BCDHK, se conocen todos sus ángulos y todos sus lados ; se conocerá, pues, con facilidad el triángulo BLC formado por los dos lados KB y DC prolongados, pues conocemos en este triángulo el lado BC y los dos ángulos LBC, LCB , suplementos de los ángulos conocidos CBK y lo que, hemos de considerar como conocida la superficie del triángulo LBC; y como la de EBCF debe ser una porcion determinada de la sųperficie total, será tambien conocida : se reduce, pues, la cuestion á tirar una linea AEF que forme en el ángulo TomII. P.
Fig. KLD un triángulo igual á un quadrado conocido. Finalmen te , esto manifiesta tambien lo que se habria de egecutar Es muy del caso prevenir, y lo probarémos con no varía la equacion; ó que si de mudar la posicion de la linea ó de las lineas que se buscan en la figura , no re- sulta mudanza alguna de posicion ni de cantidad en las li- neas dadas, entonces se hallará siempre entre los diferentes valores de x uno que resolverá el caso al qual correspon- diere esta variacion. Por egemplo, en la cuestion que aca-bamos de resolver hemos visto que el uno de los valores de 114. X resolvia directamente el caso en que la linea AEG hubie se de atravesar el ángulo HDI conforme se supuso al tiem- verán egemplos de esto en la resolucion de las cuestiones siguientes. 12.2. Cuestion V. Desde un punto dado A fuera de Page 17
Fig. siendo media proporcional entre AB y AC, dará (AT): =ab: el valor de a será, pues, x=-*c+ 2 tendrémos Al = V 16c+(AT)*: luego AL 1 a determinará el punto D Para averiguar qué cosa significa el segundo valor, luego que el supuesto de ser a y b negativas , no causa mudanza alguna en la equacion x3 + cx = ab: lue- go ya que el círculo BDEC seria entonces B'D'EC', que está a la izquierda en la misma situacion que el otro á la derecha , se sigue que en esta misma equacion est tambien cifrado este caso, al qual corresponde el segi 'do valor de esto es, x=-*-V --V cc+ab resuelve la misma cuestion ; y esta es la causa si en la construccion precedente llevamos IT desde Page 18
Fig. tidades; por egemplo, será bueno tomar por incógnita su semisuma ó su semidiferencia , ó una media proporcional entre ellas, ó &c. Por este medio se sacará 'siempre una equacion mas sencilla que si se buscára la una ó la otra. En la cuestion que resolvimos ( 2 2 4 ) hallamos un egemplo de lo que decimos. No habia en dicha cuestion circunstancia alguna que determinase si se habia de tomar 2 2. por incógnita AD Ó AE: tomando AD por la incógnita *, AE hubiera sido x +; y tomando AE por la incógnita x, AD hubiera sido x — 0, y en quanto á lo demás el cálculo sería el mismo en ambos casos, de modo equacion no se diferenciaría sino en los signos. Por esta razon en lugar de tomar una de las dos por incógnita, tomo su semisuma y la llamo 2x : como las condiciones de la cuestion determinan su diferencia DE que es = 0, tendrémos ( 1.6 73 ) AE =x+1c, y AD =*— c; y fundados en el mismo principio que nos guió en la primera resolucion, sacarémos la equacion (x+c)(–c) =ab, ó xx — *=ab, que es mas sencilla, y dá x= - cc V 16c+ab. De donde es facil inferir que AE que es *+c, será ={c+V6c+ab, y AD= y -1 -Vcc + ab, como arriba ( 2 24). La cuestion siguiente nos suministrará muchos egemplos de la aplicacion del mismo principio. Cuestion VII. Desde un punto D, situado dentro del ángulo recto IAE, é igualmente distante de los dos la, dos Page 19
Fig. solutamente la misma , pues estas cantidades están elevadás al quadrado en la equacion. La equacion que resultaria si 24. se tomase AB por incógnita , no se diferenciaria sino en los signos de la que saldria tomando por incógnita AC. Por lo que mira á DB y DC, la equacion en que una de ellas y fuese la incógnita , no se diferenciará sino en los signos de la equacion que tubiese por incógnita la otra : luego no se debe tomar ninguna de estas lineas. Pero si tomamos por incógnita la suma de las dos lineas DB y DC, y representamos esta suma por 2 x , tendrémɔs ( 1.673 ) DB = x + , y DC = x у - c; pero las paralelas DI y CA nos dán, para hallar AB y AC , las dos proporciones siguientes DC : CB :: IA ó. DE: AB , y DB : CB :: DI: AC ; esto es , & -{c:c:: a: * : luego x + 5C yá que el triángulo rectángulo CAB dá (AB)? +(AC) = a2 c2 a' c* (BC), tendremos (*— *C)? c las fracciones, y dividiendo por cc, a? (x+ c)+ a”(x - 10) = (x + c)2(x – EC)? ; haciendo las ope 1 raciones indicadas, transponiendo y reduciendo , sacarémos x4-6cc + 2 aa) x2 = aacc — 16c4, cuya equacion es á la verdad del quarto grado , pero es mas facil de resolver que la precedente , pues se resuelve ( 167. ) por el método de las de segundo grado. Llegaríamos á equaciones todavia mas sencillas si in á Page 20
Fig. dremos BD = LM + AH en la fig. 24 , y BD = IM que acabamos de determinar , un arco que corte IA pro- de. Con efecto, el triángulo rectángulo IAN dá IN ÓIK= 24. V (14)2 + (AN):=V aa + cc, y por ser LI media 25. proporcional entre DI y IK, tenemos (IL) = DI IK = aV aa +cc; pero el triángulo rectángulo IAH dá =V (IA) + (AH) =V aa + cc, y el triángulo 24. IHó MI rectángulo LIM dá LM=V (MI)2 + (IL), 25. =V aa + cc+a V(aa + cc) =« y IM. v(= x y Acerca de este último valor hemos de prevenir que 25. la construccion que acabamos de dár, supone que IH sea mayor que LI , ó por lo menos igual. Si fuere menor , se- ria imposible la cuestion en este caso, y tambien lo dá á conocer el Álgebra : porque en el valor x =.......... va V aa + cc-a Vaa+cc), si aa + cc que es (IH)* es menor que a V (aa + cc) que es (IL)”, la cantidad que quç coge el primer radical , será negativa , y por consiguien te será imaginario el valor de x. Con tomar por incógnita la suma de las dos lineas 24. DB у DC en la fig. 24, ó su diferencia fig. 25, hemos lles 25. gado á una equacion mas sencilla que si hubiéramos cons Page 21
Fig. mismo casquete. Luego si representamos por la razon r: 6 la razon del radio de un círculo á su circunferencia , y lla- x x La solidez del cono se sacará multiplicando la super- — xx) por la mitad del radio, y para sacar esta circunferen- rc será "W.12ax=**); multiplicando, pues, por la mitad del ra- dio V (2 ax — Xx), sacarémos que xx es la su- que será la solidez del cono. Como pa 3 ra que sea el cono igual al segmento, es preciso que el sec. tor que es la suma de los dos , sca duplo del uno ú del otto , se sigue que 3* = 2¢* ***, 6 Page 22
Si representamos en general por r:c la razon del radio á la circunferencia de un círculo (1.504 ); la circunferencia de otro círculo qualquiera cuyo radio sea A, será CA, y su superficie (A x A • *. Aó Se infiere de esta espresion que las superficies de los círculos crecen como los quadrados de sus radios ; porque siendo siempre del mismo valor , no crece la cantidad sino á proporcion de lo que crece A'. Si fuere H la altura de un cilindro de cuya base represente A el radio , espresará (1.600) 42 x H su solidez; por la misma razon será ca. ~ b la espresion de la so x h lidez de otro cilindro, en el supuesto de que sea b su altura, y a el radio de su base : de suerte que las solideces de estos dos cilindros serán entre sí ::*** H:22 xb, ó:: A’H:a’b, con suprimir el factor comun ; quiero decir que las solideces de los cilindros son como los prodictos de sus alturas por los quadrados de los radios de sus bases. Si las alturas fueren proporcionales á los radios de las bases, entonces H:b:: A: a, y por consiguiente k = , ; y la razon A’H: ab será A’H:, ó despues de suprimido el factor comun H, multiplicado por A , y eliminado el denominador A, será A: a; quiero decir que en semejante caso las solideces son como los cubos de los radios de las bases. En general , las superficies, segun vimos en la Geometría, penden del producto de dos dimensiones, y los sólidos del producto de tres dimensiones ; por lo que , si cada
dimension del uno de dos sólidos , ó de la una de dos su- como los quadrados, y los sólidos serán como los cubos de dos dimensiones homólogas. Poniendo la proposicion en términos mas generales todavia , podremos decir que si doscantidades qualesquiera de la misma naturaleza están es- presadas por el producto de quantos factores se quisiere, y si cada factor de la una fuere á cada factor de la otra, en una misma razon , las dos cantidades serán entre sí como un factor homólogo de cada una , elevado á una potencia de un grado igual al número de los factores. Por egemplo , si una cantidad está espresada por ABCD, y otra por abcd , en cuyo caso las dos cantidades son la una á la otra :: ABCD: abcd, si fuere A:a::B:6::C:::D:d, de las proporciones que dán estas razones se sacará b c=,=, y por consiguiente la razon ABCD: abcd será ABCD: ó A: 41,6 A: at. . Lo mismo sucederia aun quando no fuesen monomias las espresiones de estas dos cantidades ; si fuesen espresa- das, por egemplo, la una por AB +CD, y la otra por ab +cd, en el caso de ser las dimensiones de la primera proporcionales á las dimensiones de la segunda, serian es- tas cantidades la una á la otra :: A: a?; porque como su- ponemos que A:a:: B: b:: C: c:: D: d, tendremos b= : ū
• AB + CD ó A ( AB + CD): a’( AB + CD), ó finalmente A: a. La última observacion demuestra de un modo general que las superficies de las figuras semejantes son como los quadrados de dos de sus dimensiones homólogas, y las solideces de los sólidos semejantes como los cubos de las mismas dimensiones; porque sean las que fueren dichas figuras, ó dichos sólidos, las primeras pueden siempre considerarse como compuestas de triángulos semejantes, cuyas alturas y bases son proporcionales en cada figura ; y los sólidos pueden considerarse como compuestos de pirámides semejantes , cuyas tres dimensiones son tambien proporcionales, Esto manifiestá quan facil es comparar las cantidades una vez que se ha sacado su espresion algebraica , no solo quando estas cantidades son de la misma especie, sino tambien quando son de especie diferente, como un cono y una esfera, un prisma y un cilindro ; la única circunstancia precisa es que sean de la misma naturaleza, esto es, ó ambas sólidos, ó ambas superficies, &c. 2 3 3 Propusimos (1. 607 ) lo que se debia egecu. tar para hallar la solidez de una pirámide truncada ó de un cono truncado. Si llamamos H la altura de la pirámide entera , y b la altura de la pirámide quitada: S la superficie de la base inferior , y s la de la base superior , drémos ( 1.554 ) S:s:: HP : b2 ; y por consiguiente b = 45,ó b=HV . Si llamamos k la altura del trozo,
tendremos k=Hmh,y por consiguiente k=H-HV's, , ó k= HVS_HN'S de donde sacarémos H VS-Vid pero la solidez de la pirámide total es S x, y la de la pirámide quitada es s'x :, ó ( poniendo en lugar de b su valor que hallamos poco há) sx Vý: luego la solidez del trozo será ó . (s ), ó finalmen ( ( (SVS SVS): pongamos , pues, en lugar de H su valor H recien hallado , y tendremos 30NSW's) se reduce a CSVSA), ó dividiendo por VS-Vs, se á reduce á S + VSs +s), cuya espresion nos está diciendo, que toda pirámide , ó todo cono truncado se compone de tres pirámides de la misma altura , y de las quales 1 la una tiene por base la base inferior del trozo , la otra la base superior s, y la tercera una media proporcional VSs entre la base inferior Sy la superior si porque para sacar la solidez de estas tres pirámides, bastaria, una vez que son de la misma altura , tomar la suma S+VSs tos de las tres bases , y multiplicarla por el tercio de la altura comun, y, sacaríamos la misma cantidad que acabamos de hallar. 2 34 Si a representa el radio de una esfera , será la superficie de su círculo máximo : 4.2 ó será la superficie de la misma esfera , y por consiguiente 놓다 ó i x será su solidez ( 1.578 y 608 ). 은 Si llamamos x la altura de un segmento qualquiera, será , segun vimos en la resolucion de la última cuestion, cauit la solidez del sector , y . * cono que es parte de él : luego la del segmento ( 1.6 16 )
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ta forma (x - 2). (x − 3). (x–5)=0, 6. 3). (x - 5)=0, el supuesto de hacer igual a cero qualquiera de sus partes, ha de causar que se desaparezcan, porque las multiplica todas. Es asi que el supuesto de x = 2,6 =3,6=5, hace que sea cero la una de las tres partes x 2 , x - 3,85; luego &c. 240 Manifiesta todo esto como puede una equacion tener tantas raices como grados : para tratar este punto con mas generalidad, supondremos que sean a,b,c,d las raices de una equacion, y por consiguiente que x - a= 0, -b= 0,*-=0,* — d=o sean las equaciones li -c neares que forman la equacion, cuyas raices son dichas can , tidades. Si multiplicamos unas por otras todas estas equacio- nes, resultará el producto siguiente , que ya sacamos en otro lugar ( 94 ), bien que con una mira algo distinta de la que llevamos ahora. ax: + ab x2 abcx + abcd = 0 abdx to bdx? + cdx? que representa la equacion en la qual puede tener xá un tiempo los valores dados a, b,c,d. 241 Acerca de esta' equacion haremos las consideraciones siguientes, que pueden aplicarse generalmente a las equaciones de todos los grados. El Page 24
algunas de estas transformaciones , y concluiremos manifestando como se elimina ó quita el segundo término de una equacion, que es una de las preparaciones mas importantes que conducen para su resolucion. 247 Quando lleva alguna equacion coeficientes fraccionarios como esta x3 + x2 +ýx+ f 0, es muy util hacer que se desaparezcan todos ; para cuyo fin se supone x e , siendo y una nueva incógnita , y m una can , tidad que determinarán las mismas condiciones de la cuestion. Si se substituye en lugar de x en la equacion pro by puesta , se transformará en + + =0,6 gy} + + command + =o, en cuya última equacion no habrá coeficiente alguno fraccionario si m fuere divisible por a , por d, y por g. Pero el producto de las tres cantidades ' a,d,g es siempre divisible por cada una de ellas : luego con substituir en lugar de m, y las diferentes potencias de m que hay en la equacion despues de transformada , el producto adg, y sus potencias semejantes , se eliminarán facilísimamente sus coeficientes fraccionarios. Egecutando estas substituciones sacarémos y3 + to + fa3d3g3 =0, que se reduce á g3 + bdgy2 + ca’dg’y + fald’g= , en la qual no hay ningun coeficiente fraccionario. Una vez halladas las raices de esta equacion , se sacarán facilmente las de x3 + á ++ *+ *x+ f =o, dividiendo las raices de la primera por m cuyo valor ya estará determinado. 248 Con la mira de manifestar como se elimina el segundo término de una equacion, supondrémos que la pro Page 25
Luego todos los divisores que buscamos son 1 , 2 , 3; 5,6,7, 9, 10, 14, 15, 18, 21, 30, 35, 42 , 45 , 63, 70, 90, 105, 126 , 210, 315, 360. Una vez que el número propuesto es igual al producto de los cinco divisores 2 3 3 5 *7 , es evidente que en dicho número están comprehendidos todos los productos posibles , de dos, tres o quatro &c. de dichos divisores. Lo mismo se practica para hallar todos los divisores de una cantidad literal. Supongamos que se me pidan todos los divisores de bbdd + b3d. Divido desde luego por b, y saco el primer cociente bdd + bbd : vuelvo á dividir por b, y saco el segundo cociente dd + bd : dividole por b+d, d y saco el tercer cociente d: divídole por d, y saco el úl d timo cociente 1. Los divisores que me han servido son b, b, 6 + d , d. Multiplícolos de dos en dos , y saco bb , bb + bd, bd, bd + dd de tres en tres b3 + bbd, bbd + bdd, bbd de quatro en quatro b3d + bbdd. Luego todos los divisores de la cantidad propuesta son 1 ,b, b+d,d , bb , bbd , bd , bb + bd, bd + dd , b3 + bbd, bbd + bdd , bd + bbdd. Insertarémos tambien en este lugar el método de hallar la cantidad menor que puedan dividir dos cantidades propuestas a y b. . Si fuesen primeras estas cantidades la una respecto de Page 26
ciente xi + 2x2 - 10x + 25. I Le divido por et segundo : sale tambien cabal la division , y el cociente ? — 3x + 5 no tiene mas factores comensurables. Por estos egemplos se echa de ver con qué facilidad se hallan los factores lineares de una equacion numérica quando los tiene. El método es facil, y aunque se practica algo á tientas , no deja de ser apreciable por las pruebas inútiles que ahorra. 254 Contra este método puede ofrecerse un reparo que es muy del caso satisfacer. Si la raiz de la equacion, ó el segundo término de su factor linear fuese un quebrado, y no un número entero, parece que seria casi imposible hallar así á tientas su valor, porque el último término puede ser dividido por una infinidad de fracciones. Pero quando en una equacion no hay quebrado alguno, no hay tampoco fraccion alguna que pueda ser el valor de la incógnita. Sea, por egemplo, la equacion xx to ax + b =0, en la qual suponemos que ni a ni b son quebrados. Supongamos que sea el valor de x; substituyéndole en lugar de x en la equacion , tendremos m + + b = 0; luego + =-b; por consiguiente +7,6 (+ + a). ha de ser un número entero, pues suponemos que b lo es; luego * + a ha de ser n, ó multiplo de n. Si fuese , pongo por caso , fn, tendrémos , practicando la substitucion correspondiente, - =fr — a; pero esta última cantidad es un número entero ; luego lo será tambien m contra lo que hemos supuesto. Se puede apli |
Como calcular raiz quadrada de 19881
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